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Abschluss einer Teilmenge

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Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

Kuckuck aktiv_icon

16:33 Uhr, 18.03.2010

Beweise:
1. A ist Teilmenge des Abschlusses von A
2. Der Abschluss des Abschlusses von

A =

Abschluss A
3. Abschluss von

(A u B) =

Abschluss

A u

Abschluss

B

4. A ist abgeschlossen, genau dann, wenn Abschluss

A = A

5. Zeige dass Abschluss

\emptyset = \emptyset

und Abschluss

X = X

Also zu 1.
Die Definition von Abschluss = kleinste Menge, die A umfasst

\to

Abschluss A ist Obermenge von A

2.
Abschluss des Abschlusses bedeutet, die kleinste abgeschlossene Menge, die den Abschluss von A enthält. Da ja der Abschluss schon abgeschlossen ist

\to

Der Abschluss selbst ist die kleinste abgeschlossene Menge, die den Abschluss enthält.

Kann ich das so argumentieren, oder wie könnte ich das formal aufschreiben?
Ist das denn überhaupt ein Beweis??

3.
Ich hab leider keine Ahunng wie ich das ansetzen könnte.. Mit einer Äquivalenzumformung vllt.?

4.

(1

. Richtung): Wenn Abschluss von

A = A,

folgt trivialerweise nach Def daraus, dass A abgeschlossen.

(2

. Richtung): Wenn A abgeschlossen ist, ist A natürlich selbst die kleinste abg. Menge, die A enthält.

Aber das ist doch auch kein Beweis oder??? Was soll ich denn da noch dazu sagen??

5. Da

\emptyset

und

X

abgeschlossen sind, können wir doch nach 4. schon das gesuchte daraus schließen, oder?

Bitte um Hilfe!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

dom0112 aktiv_icon

22:15 Uhr, 18.03.2010

Hi,

Zu 1. Die kleinste Menge die A enthält ist A selbst, und nicht der Abschluss.

Der Abschluss ist definiert als Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen (des zugrunde liegenden Raumes), die A enthalten.

Die Argumentation wäre also wie folgt:
Sei

a \in A

. Dann liegt a auch in jeder abgeschlossenen Teilmenge, die A enthält. Der Durchschnitt dieser Mengen enthält gerade die Punkte, die in allen Mengen vorkommen,

d . h

. auch den Punkt

a

. Da a beliebig gewählt war, gilt dies für jeden Punkt aus

A,

also ist A eine Teilmenge des Abschlusses von A.

Gruß
D.

Kuckuck aktiv_icon

01:10 Uhr, 19.03.2010

Oh Mist,danke! hab die Def falsch abgeschrieben... nagut, dann überleg ich mir das ganze lieber nochmal mit der richtigen Definition

\land

Kuckuck aktiv_icon

19:10 Uhr, 19.03.2010

Also ich habe das Ganze jetzt nochmal überarbeitet..

Für Abschluss schreib ich jeztt immer

| A,

da ich nicht weiß wie man es anders eingibt..

Def:

| A := ⋂ Y_{i} ...

. kleinste abgeschl. Menge die A umfasst

Sei

a \in A

und

y \in Y_{i}

i

\forall a \in A : a \in Y_{i} \Leftrightarrow a \in ⋂ Y_{i}

Da dies für beliebe

a \in A

gilt, ist

A \subseteq | A

ii.
Reicht es hier nicht, wenn ich Punkt iv. beweise, da ja

| A

eine abgeschlossene Menge ist und somit muss gelten:

| | A = | A

iii.

y \in | (A \cup B) \Leftrightarrow \forall y \in ⋂ Y_{i} : y \in (A \cup B) \Leftrightarrow \forall y \in ⋂ Y_{i} : y \in A \lor y \in B \Leftrightarrow y \in | A \cup | B

\to | (A \cup B) = | A \cup | B

iv.

(1.richtung)
Da

| A

die KLEINSTE abgeschl. Menge ist, die A enthält muss gelten(für A abgeschl.): wenn

a_{i} \in | A,

aber

a_{i} \notin A \to \exists

eine andere kleinere Menge, die A enthält

- \to

Widersprucg

(2

. Richtung)
ang.

| A = A - \to A

offen
A offen

\Leftrightarrow \exists U_{ε} (a_{i}) \notin Y_{i} \Leftrightarrow

x \in U_{ε} (a_{i}) : x \in A,

aber

x \notin | A

Widerspruch zur Annahme, dass

| A = A

Stimmt das so irgendwie, oder ist das absoluter Käse, den ich da produziert habe??!!

Sina86

22:16 Uhr, 21.03.2010

Hi,

zu (i)
Da fehlt noch etwas:

(\forall a \in A : (\forall i \in I : a \in Y_{i}) \Leftrightarrow (a \in \cap_{i \in I} Y_{i} = \bar{A})) \Rightarrow (A \subseteq \bar{A})

zu (ii)
ja, wenn du begründest, warum

\bar{A}

eine abgeschlossene Menge ist (falls das nicht schon geschehen ist)

zu (iii)
Das ist leider nicht richtig. Der Abschluss ist i.A. die "größere" Menge, d.h. enthält normalerweise mehr Elemente. D.h. (wenn ich deine Schreibweise richtig interpretiere), dass wenn du

y \in A \cup B

nimmst, dann impliziert dass nicht, dass

(y \in A) \lor (y \in B)

ist. Gegenbeispiel:

A = (- 1, 0), B = (0, 1)

, also

A, B \subset ℝ

. Dann ist,

\bar{A \cup B} = [- 1, 1]

und

0 \in [- 1, 1]

, aber

0 \notin A \cup B

, vielmehr nimmst du in deinem Beweis die Gleichheit bereits an. Ich nehme mal an, dass du noch nicht so lange dabei bist :-) Daher empfehle ich dir, die Beweise so klein wie möglich zu machen. D.h. unterteile Mengenbeweise. Wenn du

A = B

zeigen sollst, dann zeige

A \subseteq B

und

B \subseteq A

(so ähnlich wie bei Äquivalenzbeweisen), dass macht das Problem meistens leichter.

zu (iv)
der Beweis der ersten Richtung ist irgendwie argumentativ, damit meine ich, es klingt eher wie eine Beweisidee. Schreib es doch konkret hin:

A \subseteq A \Rightarrow \exists k \in I : Y_{i} = A \Rightarrow \bar{A} = \cap_{i \in I} Y_{i} = (\cap_{i \in I \ {k}} Y_{i}) \cap Y_{k} = (\cap_{i \in I \ {k}} Y_{i}) \cap A = A

, da

A \subseteq \cap_{i \in I \ {k}} Y_{i}

.

Bei der zweiten Richtung muss ich dir leider sagen, dass du wirklich Käse produziert hast :(
Also, erst einmal: Was nimmst du an? Du sollst etwas zeigen wie:

A \Rightarrow B

, wenn du eine Widerspruchsannahme machst, kannst du nur sagen: Es gilt

A

, aber nicht

B

und das dann auf einen Widerspruch führen. Das hieße also, es gilt auf jeden Fall

\bar{A} = A

und

A

nicht abgeschlossen (Achtung! Nicht abgeschlossen heißt nicht automatisch offen! Z.B. ist

[0, 1)

ℝ

weder offen noch abgeschlossen).

zweitens:
Du nimmst an

A

sei offen und dann existiert ein

U_{ɛ} (a)

. Das kannst du aber i.A. nicht machen, da du dich nicht unbedingt in einem metrischen Raum befindest und der Begriff der Epsilon-Umgebung keinen Sinn macht (der ist über eine Metrik erklärt). Aber der Beweis folgt direkt aus den Eigenschaften abgeschlossener Mengen, wie war das noch einmal mit den Schnitten in Zusammenhang mit abgeschlossenen Mengen?!?

Lieben Gruß
Sina

Kuckuck aktiv_icon

23:29 Uhr, 21.03.2010

Hey, vielen Dank für deine Hilfe!
Ich verstehe jetzt alles was ich falsch gemacht habe, bis auf iii. ..
ich habe ja nur die

y

verwendet, die in

⋂ Y_{i} (i \in I)

liegen.. Und das ist doch die Def vom Abschluss, oder?
Also meine (bisschen veränderte) Äquivalenzumformung in Worten:

y

liegt im Abschluss von A oder im Abschluss von

B \Leftrightarrow y

liegt im

⋂ Y_{i} (i \in I) (= A)

oder

⋂ X_{i} (i \in I) (= B) \Leftrightarrow y

liegt in der Vereinigung der beiden Durchschnitte

\Leftrightarrow

da das doch die Def vom Abschl ist??!! liegt

y

doch im Abschluss von

(A u B)

Hier verwende ich doch gar nicht das Argument(das ja falsch ist), dass wenn

y

im Abschluss

A u B

liegt

\to y \in (A u B),

oder??
Ich hatte mir das mit den Teilmengen auch schon überlegt, nur leider habe ich es nicht geschafft drauf zu kommen, wie ich dann weiter vorgehen könnte..

Vielen Dank nochmal,
lg

Sina86

00:03 Uhr, 22.03.2010

Hm, dann hab ich das auch falsch verstanden. Aber da sind noch ein paar Feinheiten:

1.) Wenn du den Abschluss von

A

und

B

separat betrachtest, dann sind die Indexmengen der

Y_{i}

und der

X_{i}

nicht gleich, du müsstest dort also etwa

\cap_{i \in I} Y_{i}

und

\cap_{j \in J} X_{j}

schreiben.

2.) Im letzten Schritt sehe ich nicht, warum das gelten sollte. Du verwendest gerade da die Aussage, die du ja beweisen sollst. Warum ist z.B.

\bar{A} \subseteq \bar{A \cup B}

? Das ist nicht sofort klar, denn

\bar{A \cup B} = \cap_{k \in K} Z_{k}

mit

Z_{k}

abgeschlossen und

A \cup B \subseteq Z_{k}, \forall k \in K

. Und diese Indexmenge

K

und die

Z_{k}

haben weder was mit

I, J

noch mit

Y_{i}, X_{j}

zu tun (zunächst einmal). Natürlich hast du Recht, und das ganze ist intuitiv sofort klar, aber man muss das sauber aufschreiben. Du musst also begründen, warum

\bar{A}, \bar{B}

in jedem

Z_{k}

enthalten sein muss. Dann ist zumindest die Richtung

\bar{A} \cup \bar{B} \subseteq \bar{A \cup B}

klar. Wie die andere Inklusion ist, müsste man sich dann Gedanken machen.

Ich werde auch mal lieber ein paar warnende Worte los: Falls du noch Fragen an mich hast, solltest du die jetzt stellen, da ich ab morgen für längere Zeit nicht mehr online gehen werde ;-) dann müsste jemand anderes übernehmen, oder du müsstest die Frage noch mal neu stellen.

Gruß
Sina

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