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Absolute Differenz von 2 Zufallsvariablen

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Zufallsvariablen

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01:11 Uhr, 16.12.2020

Hi. Ich soll folgendes Problem lösen:

Gegeben seien zwei diskrete, unabhängige Zufallsvariablen

X, Y

- gleichverteilt auf

{0, \dots, 1}

. Oder formal ausgedrückt:

X, Y \sim U_{{1, \dots, n}}

.

Man definiere nun

Z = ∣ X - Y ∣

. Was ist der Erwartungswert von

Z

?
________________________________________________________________________________________

Mein Ansatz ist wie folgt. Definiere

h (X, Y) = ∣ X - Y ∣

. Dann suchen wir

E [Z] = E [h (X, Y)] = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} h (i, j) P (X = i, Y = j)

aufgrund der Unabhängigkeit und Gleichverteilung können wir das dann folgendermaßen schreiben

\frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} ∣ i - j ∣

Man kann jetzt wie ich induktiv vorgehen: Sich die Summe ausschreiben und allerlei Muster und Symmetrien suchen, was auch relativ schwierig hier darzulegen wäre, da keine LaTeX-Matheumgebungen unterstützt werden.

Ich wollte deswegen mal nachfragen, ob ich hier etwas gewaltig verkompliziere und man das Problem eigentlich viel einfacher lösen könnte. :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)