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Abstand Asymptote Punkt

Schüler

Tags: Asymptotetote

Hansmax aktiv_icon

22:56 Uhr, 19.01.2016

Hallo

Wie löst man die folgende Aufgabe?

Aufgabe: Funktion:

f : y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 12}

a)

Welchen Abstand hat der Kurvenpunkt

P (\frac{\sqrt{2}}{y_{p}})

von der Asymptote?

b)

Welcher Kurvenpunkt hat den grössten Abstand von der Asymptote?
Wie berechnet man den Abstand zwischen einer Kurve und einem Punkt? Ist bei

a)

der geringste Abstand gemeint?

Mein Lösungsweg:
a)Wie bestimmt man hier die Asymptote?
Polynomdivision ergibt als Asymptote

x

Rest

12 x

somit ist der Abstand=
sqrt((x_2-x_1)^2—(y_2-y_1)^2)=sqrt((sqrt(2)-sqrt(2))^2 –

((\frac{\sqrt{2}}{7})) - \sqrt{2})^{2})) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{7}

satt

\frac{6}{7}

Was mach ich falsch ?

b)

HB: S(x_2)=sqrt((x_1-x_1)^2—((x_1^3/(x^1+12))-x_1)^2)=

max

.
S(x_2)‘ gesetzt 0

x_{2} = \pm 2 \cdot \sqrt{3}

(Stimmt diese Lösung?(Lösung fehlt))

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

00:30 Uhr, 20.01.2016

Hallo
ich verseh nicht was du da in

a)

in die Formel einsetzt. für

x_{1}

und

x_{2}

usw.
dasselbe in

b)

den Abstand findest du, indem du die senkrechte durch

P

zu der Ass

y = x

mit der Ass. schneidest. das gibt dir dein

(x_{2}, y_{2})

und

P = (x_{1}, x_{2})

dass du dann bei allgemeinem

x_{1}, y_{1}

diesen Abstand differenzierst und 0 setz ist wieder richtig.
aber was du in

S (x_{2})

eingesetzt hast versteh ich wieder nicht.
Gruß ledum

Hansmax aktiv_icon

07:13 Uhr, 20.01.2016

Vielen Dank,

a)

ich hab den Abstand allgemein als

\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}

berechnet, hier ist, da die Asymptote

a : y = x

ist,

x_{1} = x_{2}

und die y-Koordinate der Asymptote ist

y_{2},

eigentlich hab ich nur gerechnet:

\sqrt{0 + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}

wobei

y_{1} = x_{1},

da die Asymptote die Funktionsgleichung

a : y = x

hat und

x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{7}

das ergibt jedoch fäschlicherweise

6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{7}

was mach ich falsch? Ich komm nicht ganz nach, wie bestimmt man die senkrechete Ass.?

b)

Danke

S (x_{2})

ist die Hauptbedingung HB deren ersten Ableitung ich 0 gesetzt habe um das Minimum zu bestimmen.

Vielen Dank

oculus aktiv_icon

12:30 Uhr, 20.01.2016

Also Hansmax,
auch ich werde aus deinem Eintrag nicht recht schlau.
Und da ich mich lange mit so einer Aufgabe nicht beschäftigt habe, versuche ich mal selbst daran.
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden

g

R 2

oder einer Ebene

ε

R 3

wird doch berechnet mit der Hesseschen Normalform.
In deiner Aufgabe ist

x = y

bzw.

x - y = 0

die Geradengleichung, die in der vektoriellen Darstellung die Form

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = 0

bekommt. Damit ist

\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

ein Normalenvektor der Geraden und

| \vec{n} | = \sqrt{2}

.
Somit ist die Hessesche Normalform von

g : \frac{(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) |} \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = \frac{(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = 0

In den Term

\frac{(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

ist jetzt der Ortsvektor von

P,

also

\vec{p} = (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{7} \end{matrix})

einzusetzen, um den Abstand

d

des Punktes

P

von

g

zu erhalten:

d = \frac{(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{7} \end{matrix}) = ((\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{7} \end{matrix}) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}

.

Bitte nachrechnen, da beim komplizierten Schreiben Fehler passieren.

oculus

Hansmax aktiv_icon

12:55 Uhr, 20.01.2016

Vielen Dank, geht dies nicht auch mit meiner obigen Formel?

oculus aktiv_icon

14:13 Uhr, 20.01.2016

Kontrolliere und berichtige mal deinen Text und richte dich dabei nach "Wie schreibt man Formeln?

oculus

Hansmax aktiv_icon

16:14 Uhr, 20.01.2016

Vielen Dank, ich kann aber den Text nicht mehr bearbeiten(Option fehlt).

ledum aktiv_icon

16:50 Uhr, 20.01.2016

Hallo
mit deiner Formel ginge das Wenn der eine Punkt auf der Kurve, der andere auf Schnittpunkt der Ass. und der Normalen auf die Ass. vom Kurvenpunkt aus wäre.

x_{1} \neq x_{2}

da sie ja auf 2 verschiedenen Kurven liegen. Aber eigentlich hatte ich dir das schon gesagt. warum gehst du nicht auf antworten ein?
Gruß ledum

Hansmax aktiv_icon

17:09 Uhr, 20.01.2016

Vielen Dank, ich hab es so versucht, aber ich bekomme auch so nicht die richtige Lösung.

Mein Lösungsweg:

Normale zum Punkt

P (\sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{7})

m = - \frac{1}{\frac{x^{3}}{x^{2} + 12}} = - \frac{19}{49}

g:y=mx+b

\frac{\sqrt{2}}{7} = - \frac{19}{49} \cdot \sqrt{2} + b

b = \frac{26 \cdot \sqrt{2}}{49}

Schnittpunk:

- \frac{19}{49} \cdot x + \frac{26 \cdot \sqrt{2}}{49} = x

x = \frac{13 \cdot \sqrt{2}}{34}

d = \sqrt{{(\sqrt{2} - \frac{13 \cdot \sqrt{2}}{34})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{7} - \frac{13 \cdot \sqrt{2}}{34})}^{2} = 3 \cdot \frac{\sqrt{1381}}{119}}

Was mach ich falsch?

ledum aktiv_icon

17:18 Uhr, 20.01.2016

Hallo
die Senkrechte auf

y = x

hat die Steigung

- 1

und geht durch den Kurvenpunkt der gegeben ist, oder allgemein

(x_{1}, f (x_{1})

bei

b)

hast du inzwischen eine Zeichnung?
Gruß ledum

Hansmax aktiv_icon

17:43 Uhr, 20.01.2016

Vielen Dank, ich habe Geogebra downgeloadet und eine Skizze gemacht, die habe ich angehängt. Ich verstehe nicht ganz, ist es so, das wenn der grösste Abstand zwischen Punkt und Graph gefragt ist, man das nichtbeachten muss oder muss man immer überprüfen, ob der Punkt von dem ein anderer Punkt auf einen anderen Graphen den gröstmöglichen Abstand hat nicht auf desen Asymptote liegt?

Und muss man, wenn der Punkt auf der Asymptote liegt, die Normale der Asymptote mit der Funktionsgleichung schneiden oder die Normale der Funktion mit der Asymptote?Und für den sich ergebenden Punkt und dem Bezugspunkt, die Formel

\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}

anwenden?

Entschuldigung, das die Skizze einen schwarzen Hintergrund hat,ich weis nicht warum.

ledum aktiv_icon

20:17 Uhr, 20.01.2016

hallo
hier geht es doch um den abstand eines Punktes von einer geraden. wenn du irgendwo im freien stehst würdest du doch auch den Abstand zu einer geraden senkrecht angeben.dass jede andere entfernung von der Strasse größer ist also kein Abstand sieht man doch direkt. Wenn man Abstände von einem Punkt zu einm nicht geraden Graphen will ist es nicht so eindeutig.
hier ist ein Punkt gegeben, dass er auf einem graphen liegt bestimmt bei gegebenen

x_{1}

seine

y

Komponente, im übrigen eben dann der abstand = senkrechte Entfernung Punkt- Gerade.
ich mach von geogebra Zeichnungen immer einen screenshot, dann hab ich den ausschnitt den ich will und es sieht aus, wie auf meinem Schirm
Gruß ledum

Hansmax aktiv_icon

21:25 Uhr, 20.01.2016

Vielen Dank, ich verstehe nun das der Abstand dem Abstand der Funktion zur Normalen der Asymptote ist, jedoch weiss ich nicht, wie ich ihn berechnen, den die Normale schneidet ja nicht die Funktion.

ledum aktiv_icon

23:21 Uhr, 20.01.2016

siehe meinen post von

17.18

liest du eigentlich Antworten und denkst mindestens 5 Minuten darüber nach?
ledum

Hansmax aktiv_icon

23:48 Uhr, 20.01.2016

Vielen Dank, jetzt versteh ich es, wenn allgemein der Abstand gefragt ist, und nicht der maximale bzw. minimale(wo man davon ausgehen kann das der Punkt der Schnittpunkt der Normalen zur Abzsse im Punkt mit der Abzisse ist), muss man erst den Schnittpunkt Normale der Abzisse durch den jeweiligen Punkt und der Abzisse berechnen und dann den Abstand mit der Formel

\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}

Hansmax aktiv_icon

23:49 Uhr, 20.01.2016

Vielen Dank, und Entschuldigung, für den Doppeltheard, hab mich (Wieder) "verklickt".

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