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Abstand relativ kompakter Menge in metr. Raum
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Abschluss einer Menge, Distanz, kompaktheit, Mengentheoretische Topologie, metrischer Raum, offene Mengen, Relativ Kompakt
 
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Hallo, Es sei ein metr. Raum, offen, und relativ kompakt. Zeige dist( . Ich weiß, dass für offene Mengen gilt: sodass alle mit Zudem bedeutet relativ Kompakt, dass der Abschluss kompakt ist, also die Menge aller Grenzwerte. Weiter trifft der Abschluss nicht den Rand von . Nur sehe ich keine Möglichkeit dies in Zusammenhang zu bringen. Vielleicht kann mir jemand zeigen, welche Teile mir noch fehlen bzw. wie diese in Verbindung stehen. Danke und viele Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, muss es nicht heißen? Gruß ermanus |
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Das habe ich mich auch schon gefragt, aber die Angabe lautet wie im Bild |
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Dann ist sie falsch. Nimm . |
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Ah, relativ kompakt in ! |
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Laut Wikipedia: de.wikipedia.org/wiki/Relativ_kompakte_Teilmenge ist dann eine kompakte Teilmenge von , für die gilt. Kommst du damit weiter? Gruß ermanus |
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Entschuldigung, das hatte ich vergessen abzutippen. Aber ehrlich gesagt kann ich mit dem letzten Tipp von Wikipedia immer noch keine Zusammenhänge ersehen. Gruß |
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Wir haben . ist stetig in . Da kompakt ist, nimmt auf sein Infimum an. Nun nimm an, dies wäre und führe das zu einem Widerspruch. |
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Damit würde ich den Widerspruch zeigen, dass der Abschluss den Rand der Menge trifft, was er nicht sollte. Sehe ich das richtig? Mein Versuch: Annahme: inf dist Sei weiter dann gibt es ein und ein für die gilt: Damit trifft die Menge den Rand der Menge und damit muss gelten: dist( Gruß Thomas |
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Du meinst den Rand der Menge , nicht , oder? Aber so ganz koscher ist deine Argumentation ohnehin noch nicht. |
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Das sollte heißen, richtig. Das hatte ich mir schon gedacht, Vorschläge um die Argumentation koscher zu machen? Gruß |
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Hier ein Koscherversuch: sei also so, dass ist, d.h. es gelte . Damit liegt in jeder Umgebung von ein . Folglich ist ein Berührungspunkt von , liegt also in . Da nun offen ist, gilt . daraus folgt . |
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Das erscheint mir um weiten belastbarer als mein Versuch. Danke und Gruß |
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