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Abstand zwischen zwei Vektoren minimieren

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, Lineare Abbildungen, Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Vektorraum

TomRiddle

19:18 Uhr, 02.01.2014

Hallo, habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Der Abstand zwischen den 2 Vektoren

b (t) = (\begin{matrix} t + 1 \\ 1 - t \\ 2 \end{matrix})

und

f = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix})

soll minimal sein. Wie muss

t

lauten?

Den euklidischen Abstand berechnet man ja mit

| | x - y | |,

wie muss ich weiter rechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

rundblick aktiv_icon

19:25 Uhr, 02.01.2014

"
Der Abstand zwischen den 2 Vektoren "
"

\to

Vektoren sind doch ortsunabhängige "Lebewesen"

können also überall im Raum angesetzt werden...

.. da macht es doch irgendwie Probleme vom "Abstand zweier Vektoren"
zu reden ??

also:
wie heisst denn nun die Frage genau?

\to

TomRiddle

19:28 Uhr, 02.01.2014

"Bestimmen Sie

t \in ℝ

so, dass

b (t)

und

f = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix})

minimalen Abstand haben.

rundblick aktiv_icon

19:43 Uhr, 02.01.2014

wo hast du die Aufgabe her?

vonwegen "Abstand" freier Vektoren ??

michaL aktiv_icon

19:47 Uhr, 02.01.2014

Hallo,

http//www.onlinemathe.de/forum/Abstand-zwischen-zwei-Vektoren-minimieren

Doppelpost in gleichen Forum...
Wie dreist kann man eigentlich sein?

Mfg Michael

pleindespoir aktiv_icon

19:47 Uhr, 02.01.2014

Vermutlich ist gemeint, dass die gar nicht so frei sind, sondern vom Ursprung ausgehen.

TomRiddle

19:49 Uhr, 02.01.2014

Wurde uns vom Mathe Prof gegeben in einer Aufgabensammlung (siehe Bild)

Als Lösung steht nur

t = - \frac{1}{2}

rundblick aktiv_icon

20:00 Uhr, 02.01.2014

"Vermutlich ist gemeint, dass die gar nicht so frei sind, sondern vom Ursprung ausgehen."

\to

angenommen, du hättest Recht, pleindespoir

\to

was wäre dann für dich der "Abstand" dieser beiden, im Ursprung beginnenden Vektoren?

\to . .

.

na ja

prodomo aktiv_icon

20:03 Uhr, 02.01.2014

Könnte es sein, dass

a (t)

und

b (t)

als Geradengleichung mit

t

als Parameter gemeint sind ? Sonst sieht das wirklich seltsam aus

. .

rundblick aktiv_icon

20:06 Uhr, 02.01.2014

@ prodomo:

hast du denn diesen Beitrag von michal. nicht gelesen?

\to

"19:47 Uhr, 02.01.2014"

prodomo aktiv_icon

20:10 Uhr, 02.01.2014

Danke für den Hinweis...Davon abgesehen ist der "Abstand" von einem Vektor schon ein böser Lapsus. In jeder Oberstufenarbeit wird streng zwischen Ortsvektor und Punkt unterschieden und dann verteilt ein Hochschullehrer derartige Aufgaben

...

TomRiddle

22:07 Uhr, 02.01.2014

Hallo,

trotz allem weiß ich leider noch nicht wie ich nun

t

ausrechnen soll? Könnte mir das jmd sagen?

aleph-math aktiv_icon

08:49 Uhr, 03.01.2014

"Tom..", nicht verzweifeln! ;-)

@"Abstand": Gebe d. Bedenken recht, unglückl. Formulierung!
(Echte) Vektoren haben einen defin. Abstand, dh. Entferng. nur, wenn die durch sie defin. Geraden (anti)parallel o. windschief sind. D. Abstand ist dann d. Strecke zwi. den Schnittpkt. einer zu beiden Vektoren/Geraden orthogon. Gerade mit diesen.

Zurück zur Rechnung. Ich greife d. von "prodomo" angeführten Untersch. von Vektor & Punkt auf u. vermute stark, daß mit b & f trotz d. Kleinschreib. keine Vektoren, sond. Punkte gemeint sind. Dann passt d. erwähnte "euklid." Ansatz perfekt:

d = ∣ ∣ B - F ∣ ∣ = \sqrt{(B_{1} - F_{1})^{2} + (B_{2} - F_{2})^{2} + (B_{3} - F_{3})^{2}}

(1)

Das gibt eine quadr. Gl. in t, die nach d. bekannten "Mittern.Formel" zu lösen ist.
*** Edit: Sorry, hab ganz übersehen, daß es nicht um einen Nullpkt., sond. um d. Minimum geht. Dann ist keine quadr. Lösung nötig, sond. d. Ableitg. von Gl./Fkt.(1), also

d ʹ

. Um sich d. Arbeit leichter zu machen, genügt es aber, d. Wurzel zu elimin. u.

d^{2}

abzuleiten. D. Min. von

d^{2}

ist auch d. Min. von

d

.

Zur Kontr.:

d^{2} = 2 (t^{2} + t + 5) \Rightarrow d^{2} ʹ = 4 t + 2 := 0 \Rightarrow t_{0} = - 0.5

. Q.e.d.!

Viel Erfolg!

Eva88 aktiv_icon

09:21 Uhr, 03.01.2014

Benutze die Abstandsformel von 2 Punkten, und leite diese dann ab und setze sie 0.

Dann hast du

d' = 0

und dann nach

t

auflösen.

d = \sqrt{{(t + 1 - 1)}^{2} + {(1 - t - 2)}^{2} + {(2 - 5)}^{2}}

d = \sqrt{t^{2} + {(- t - 1)}^{2} + 9}

d = \sqrt{t^{2} + t^{2} + 2 t + 1 + 9}

d = \sqrt{2 t^{2} + 2 t + 10}

d' = \frac{4 t + 2}{2 \cdot \sqrt{2 t^{2} + 2 t + 10}}

d' = 0

\frac{4 t + 2}{2 \cdot \sqrt{2 t^{2} + 2 t + 10}} = 0

4 t + 2 = 0

4 t = - 2

t = - \frac{1}{2}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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