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Abzählbarkeit/Überabzählbarkeit beweisen
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Sonstiges
 
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Hallo Leute,
bin zurzeit wieder dabei, ein Analysis Übungsblatt zu lösen. Nur hab ich jetzt Probleme bei einer Aufgabe, welche wiefolgt lautet: Beweisen Sie die folgenden Aussagen: Jedes nichtleere offene Intervall aus ist überabzählbar. ii) Für jedes nichtleere offene Intervall aus ist die Menge geschnitten abzählbar unendlich, und die Menge ohne ist überabzählbar. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass geschnitten nicht leer ist. Führen Sie dann die Annahme, dass geschnitten endlich ist, zum Widerspruch. Meine Gedanken zur in der Vorlesung haben wir bereits gezeigt, dass das Intervall aus überabzählbar ist. Jetzt war mein Gedanke, dass man "nur" zeigen müsste, dass eine Bijektion von zu existiert. Nur wie mache ich das und vor allem ist der Gedanke sinnvoll oder zu umständlich? Meine Gedanken zur ii) Im Prinzip steht ja schon da, was man machen muss. Aber wie begründe ich die Schritte mit mathematischer Exaktheit? geschnitten kann nicht leer sein, da dies die Menge der irrationalen Zahlen ist, welche im Intervall liegen. Aber das ist ziemlich holprig. Für Hilfestellungen, Lösungsansätze oder gar Lösungswege wäre ich sehr dankbar! |
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Hallo, dir sollten doch selbst bijektive Abbildungen einfallen, die ein Intervall auf ein Intervall abbilden für ein geeignetes . Dann noch eine bijektive Abbildung auf , fällt dir da nix ein? Beim anderen: Habt ihr vielleicht so etwas bewiesen, wie: Zwischen je zwei rationalen Zahlen liegen a) immer noch eine rationale b) eine irrationale Zahl. Und: Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegen a) immer noch eine irrationale b) eine rationale Zahl. So was könntest du meiner Meinung nach gut gebrauchen... Mfg MIchael |
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Mir fällt leider wirklich keine Abbildung ein, da ich da einfach Probleme habe, weil die reellen Zahlen "unendlich dicht" sind. Eine Bijektion zwischen und beispielsweise wäre kein Problem, weil man da schön der Reihe nach eine konkrete Zahl aus einer konkreten Zahl aus zuordnen kann. Aber echt keine Ahnung wie ich da bei reellen Zahlen vorgehen soll, weil da liegen in jedem beliebig kleinen nichtleeren Intervall immer noch unendlich viele Elemente drinnen. Und die irrationalen Zahlen wurden in der Vorlesung noch nicht mal erwähnt, also dementsprechend auch keine Sätze dazu. MfG |
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Hallo, ich dachte, die Abbildung wäre naheliegend genug, um zu beweisen, dass und gleichmächtig sind. Aber die andere Abbildung (Skalieren auf ) musst du noch mal allein versuchen. Mfg Michael |
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ok, ich bin jetzt durch einiges an rumprobieren und überlegen auf folgende Abbildung gekommen: Dies müsste jetzt, hab ich mich nicht vollständig geirrt, eine bijektive Abbildung von auf sein. Ich glaub jetzt kommt das ins Spiel, was du mit skalieren schon angedeutet hast, weil ich brauch ja eine Abbildung, welche von als Definitionsmenge ausgeht. Aber was bedeutet denn skalieren in diesem Zusammenhang bzw. wie wird sowas gemacht? Sorry für die ganzen Fragen, aber ich mach sowas zum ersten mal. |
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