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Addition abgeschlossener Mengen

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

Floh17 aktiv_icon

23:52 Uhr, 05.05.2012

Hallo!

X, Y \subset ℝ^{n}

und

X + Y := {z = x + y : x \in X, y \in Y}

Ich habe jetzt folgende Frage:
Seien

X, Y

abgeschlossen. Folgt daraus, dass

X + Y

abgeschlossen ist?
Wenn ich mir versuche das vorzustellen, so denke ich, dass die Implikation wahr ist. Einfach so vom Bauchgefühl. Natürlich "zählt" das nicht.
Wenn

X, Y

offen, dann folgt auch, dass

X + Y

offen ist. Dies konnte ich zeigen, indem ich ausgenutzt habe, dass

X, Y

nur innere Punkte enthält und somit zu jedem

x, y

eine Umgebung existiert, sodass

U (x) \subset X

bzw.

U (y) \subset Y

. Bin mit zwar nicht sicher ob der Beweis dafür komplett richtig ist, jedoch geht es ja nun um abgeschlossene Mengen. Da weiß ich aber nicht wie ich da ran gehen soll. Habe versucht zu zeigen, dass das Komplement offen ist, bin aber nicht sehr weit gekommen. Ein weiterer Versuch war es, den Rand von

X

und

Y

zu betrachten. Aber selbst wenn

x

und

y

Elemente des Randes von

X

bzw.

Y

sind ist die Addition von

x + y

nicht zwangsläufig auch ein Element des Randes von

X + Y

.
Gegenbeispiel:
Betrachte die abgeschlossenen Intervalle

X = [0,1]

und

Y = [2,3]

. Offensichtlich ist

0 + 3 = 3

kein Randwert von

X + Y

.
Ich komm mit diesen Mengen irgendwie nicht ganz klar.
Hoffe jemand kann helfen.

Grüße!

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