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Additionsgesetz Summe Poisson Verteilung

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Tags: Summe Poisson-Verteilung

tommy40629 aktiv_icon

15:28 Uhr, 06.01.2015

Hi,

es geht um das Additionsgesetz bzw. die Reproduktivität der Poisson Verteilung.

Ich verstehe im Beweis die 1-te Zeile nicht. Habe das gelb-rot markiert.

P (X + Y = k) = \sum_{i = 0}^{k} P (X = i) * P (Y = k - i)

Auch wenn ich es formal richtig aufschreibe hilft es mir nur bedingt weiter:

P (X + Y = k) = \sum_{i = 0}^{k} P (X = i) * P (Y = k - i) = \sum_{i = 0}^{k} P ({ω \in Ω : X (ω) = i}) * P ({ω \in Ω : Y (ω) = k - i})

kleines i ist das Bild von X an der Stelle

ω

und

k - i

ist das Bild von Y an der Stelle

ω

.

Je länger ich mir das ansehe, desto mehr Fragen kommen.

Für

P (X + Y = k)

könnte man auch schreiben

P (Z = k)

, weil die Summe von 2 diskreten Zufallsvariablen wieder eine Zufallsvariable ist.

Aber wie man auf das was in der Summe steht kommt ,

P (X = i) * P (Y = k - i)

, da habe ich keine Idee.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

15:42 Uhr, 06.01.2015

"Aber wie man auf das was in der Summe steht kommt ,

P (X = i) * P (Y = k - i)

, da habe ich keine Idee"

Das Ereignis

{ω : X (ω) + Y (ω) = k}

ist eine disjunkte Vereinigung der Ereignisse

{ω : X (ω) = 0} \cap {ω : Y (ω) = k}

{ω : X (ω) = 1} \cap {ω : Y (ω) = k - 1}

usw., weil

X, Y

nur die Werte

0, 1, 2, . . .

annehmen.

tommy40629 aktiv_icon

15:46 Uhr, 06.01.2015

Auch wenn die Frage jetzt dumm ist:

Hat die Summe von 2 diskreten Zufallsvariablen X+Y etwas mit der gemeinsamen Verteilung und den Randverteilungen bei der Vierfeldertafel zu tun?

EDIT:

X+Y ist bei Zufallsvariablen doch eine mehrdimensionale Verteilung, hier 2-dimensional.

Das stimmt doch oder?

DrBoogie aktiv_icon

15:54 Uhr, 06.01.2015

"X+Y ist bei Zufallsvariablen doch eine mehrdimensionale Verteilung"

Ich weiß nicht genau, was Du meinst, aber wenn Du glaubst, dass

X + Y

zweidimensional ist, dann irrst Du Dich. Konkret für Poisson-verteilte

X, Y

nimmt

X + Y

nur die Werte

0, 1, 2, . .

. Im allgemeinen Fall ist es möglich, dass

X + Y

auch Werte annimmt, welche

X, Y

nicht annehmen, aber es sind reelle Werte (wenn

X, Y

reell-wertig sind), keine "zweidimensionale", was auch immer das sein mag.

tommy40629 aktiv_icon

16:20 Uhr, 06.01.2015

Ok, ich liege also völlig daneben mit meiner Vermutung.

Ich wollte das Thema durchgehen, wo 2 Zufallsvariablen X und Y durch + verknüpft werden, X+Y=Z

Ich dachte immer, dass eindimensionale Verteilungen Verteilungen von einer Zufallsvariable sind.

Und bei zweidimensionalen Verteilungen dachte ich immer, dass das dann die Summe von zwei
Zufallsvariablen ist.

Jedenfalls habe ich gerade ein Buch gefunden, mit dem Thema "Mehrere Zufallsvariablen über demselben Wahrscheinlichkeitsraum".

Das werde ich jetzt durcharbeiten, weil ich nicht weiß, was bei der Addition von X+Y überhaupt passiert.

Dann danke ich Dir!

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