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Additionstheoreme beweisen mit Matrizendarstellung

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

 
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Einheitswurzel

Einheitswurzel aktiv_icon

01:55 Uhr, 17.03.2015

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Hallo,

wir hatten auf dem dieswöchigen Übungsblatt eine Aufgabe, mit der ich ein wenig überfordert bin, bzw. deren Aufgabenstellung ich nicht richtig verstehe:

Beweisen Sie durch Vergleich der Matrizendarstellungen von ei⋅x,ei⋅y und ei(x+y) für x,y∈ℝ die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus.

Grundsätzlich ist mir schon klar wie man das (mit den eulerschen Formeln) beweisen könnte, allerdings verwirrt mich die Matrixdarstellung ein wenig, da mir nicht klar ist, wie ich die Funktionen als Matrix darstellen könnte (erster Ansatz war über die Ableitung bzw. Jacobi-Matrix, aber ich denke das hilft mir hier auch nicht viel).

Vielen Dank schon mal im Voraus

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Additionstheoreme
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

02:16 Uhr, 17.03.2015

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Hallo,

man kann die komplexe Zahl z=a+ib auch als Matrix
z=(ab-ba)
schreiben (gaaanz sicher in der Vorlesung erwähnt, sonst würdet ihr nicht diese Aufgabe bearbeiten sollen).

Damit sollte es doch gehen, oder?

Mfg Michael
Frage beantwortet
Einheitswurzel

Einheitswurzel aktiv_icon

02:32 Uhr, 17.03.2015

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Vielen Dank, dass war alles was ich gebraucht habe.
Ich war leider die letzte Woche krank und das zugehörige Kapitel im Skript ist noch nicht hochgeladen.
Nochmal vielen Dank, damit sollte das kein Problem sein.

Lg
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

07:13 Uhr, 17.03.2015

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Hallo,

muss mich selber noch einmal dazu melden...
Das Minuszeichen kann stattdessen (auch) vor dem anderen b n der Matrix stehen.
Eigentlich wäre es egal und somit nur eine Definitionssache, aber die Matrix hat ja den Aufbau einer Drehmatrix (nur mit eventuellem Skalierungsfaktor):
(cos(α)-sin(α)sin(α)cos(α))

Bei denen ist aber das Vorzeichen eben am anderen Nebendiagonalelement.
Aufgrund dieser Tatsache wird vermutlich (denke an die Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen) bei den Matrizen das Vorzeichen bei positiven Winkeln α eben oben rechts (stattunten links) stehen.

Siehe dazu etwa: de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Drehmatrix_der_Ebene_R.C2.B2

Mfg Michael