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Additionstheoreme mittels euler Zahl

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: Additionstheorem, Eulersche Zahl, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

Mikhail aktiv_icon

20:37 Uhr, 01.11.2012

Hallo allerseits. Wir behandeln derzeit komplexe Zahlen und haben diese Aufgabe hier bekommen. Leider verstehe ich überhaupt nicht was von mir verlangt wird und wie ich die Aufgabenstellung angehen soll.

Ich weiss was Additionstheoreme sind und kann komplexe Zahlen in die Exponentialform bringen. Die eulische Identität hatten wir noch nicht.

Kann mir bitte jemand helfen die Aufgabe zu lösen und nach Möglichkeit ausführlich die Schritte erklären? Ich bin für jeden Tipp dankbar.

Zeigen Sie mithilfe der Eulerschen Formel e^ix

= cos (x) + i sin (x)

cos (x \pm y) = cos (x) \cdot cos (y) \pm sin (x) \cdot sin (y)

{cos}^{2} (x) + {sin}^{2} (x) = 1

Ich bedanke mich im Voraus und wünsche alles Gute.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

michaL aktiv_icon

21:06 Uhr, 01.11.2012

Hallo,

du hast also zur Verfügung:

e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x)

Nun sollst du dich um

\cos (x + y)

kümmern...
Hm, wie könnte das wohl gehen?

Denk mit!

Mfg Michael

Mikhail aktiv_icon

21:20 Uhr, 01.11.2012

Ich weiss dass es um 2 Winkel geht, die addiert/subtrahiert werden müssen.

Mit der Eulerzahlt geht das so

e^{x \pm y}

.

Weiter weiss ich nicht...

Mikhail aktiv_icon

21:21 Uhr, 01.11.2012

Ich weiss dass es um 2 Winkel geht, die addiert/subtrahiert werden müssen.

Mit der Eulerzahlt geht das so

e^{x \pm y}

.

Weiter weiss ich nicht...

michaL aktiv_icon

21:26 Uhr, 01.11.2012

Hallo,

nun, es fehlt noch das i in der Formel, aber sonst, korrekt.
Konzentrier dich erst einmal auf eines, mein Vorschlag:

\cos (x + y)

Dazu musst du

e^{i (x + y)}

betrachten.
Einerseits gilt

e^{i (x + y)} = \cos (x + y) + i \sin (x + y)

.
Andererseits kannst du in dieser Gleichung LINKS ausmultiplzieren und Potenzgesetze anwenden.

Mach mal.

Mfg Michael

Mikhail aktiv_icon

21:33 Uhr, 01.11.2012

Also ich brauch einen Realteil und einen Imaginärteil.

Wenn ich

e^{i} (x \pm y)

ausmultipliziere, habe ich e^ix

\cdot

e^iy

Ist irgendwas davon Realteil und irgendwas Imaginärteil?

michaL aktiv_icon

21:38 Uhr, 01.11.2012

Hallo,

denk bitte ein bisschen selbst mit.

e^{i x} \cdot e^{i y}

...
Nun die eulersche Formel für beide Faktoren anwenden!

Mfg Michael

Mikhail aktiv_icon

22:18 Uhr, 01.11.2012

Hm, ich habe das Gefühl dass mir die nötigen Werkzeuge fehlen. Wir hatten noch nicht die Herleutung der eulischen Zahl/eulische Identität.

Ich begreife einfach nicht das Ziel, worauf die Gleichung hinauslaufen soll...

michaL aktiv_icon

07:57 Uhr, 02.11.2012

Hallo,

setze für

e^{i x}

den gleichen Term

\cos (x) + i \sin (x)

ein.
Mache es analog für

e^{i y}

.

Dann wende das Distributivgesetz an. Bedenke, wie man komplexe Zahlen multipliziert!

Mfg Michael

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