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Äquidistante Zerlegung

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

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17:40 Uhr, 28.01.2011

Hallo,

ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe zur Berechnung von

\int_{0}^{1} x d x

als Grenzwert von Ober- und Untersumme mit der äquidistanten Zerlegung.

Satz

2.5 :

Es seine zwei Reihen

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k}, \sum_{k = 0}^{\infty} b_{k}

absolut Konvergent. Zu

n \in ℕ

setze

c_{n} := \sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} b_{k}

. Dann ist

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n}

konvergent(sogar absolut konvergent) und es gilt:

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} = (\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k}) \cdot (\sum_{k = 0}^{\infty} b_{k})

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16:44 Uhr, 30.01.2011

Hat denn keinen einen Ansatz oder ähnliches?

hagman aktiv_icon

08:26 Uhr, 31.01.2011

Was hat

\int_{0}^{1} x d x

mit Satz

2.5

zu tun?
Willst du Ober/Untersummen zum Integral bestimmen oder Satz

2.5

beweisen?
(Und der Bildlink klaapt bei mir nicht)

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15:21 Uhr, 31.01.2011

Eigentlich klappt der Bildlink.

Die aufgabe ist die: Berechne Sie

\int_{0}^{1} x d x

als Grenzwert von ober- und Untersumme. Verwenden Sie die Zerlegung

Z

[0, \frac{1}{n}], [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}], [\frac{2}{n}, \frac{3}{n}], . .

, [\frac{n - 1}{n}, 1]

des Intervalls

[0, 1]

. Eine solche Zerlegung in

n

Teilintervalle gleicher Länge heißt äquidistante Zerlegung.

Der Satz

2.5

beinhaltet aber das:

\sum_{k = 0}^{n} k = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} = 1 + 2 + . .

+ n

hagman aktiv_icon

16:15 Uhr, 31.01.2011

Ah, jetzt sehe ich das Bild auch und der Satz passt jetzt auch inhaltlich.
Schreib doch mal die Unter- und Obersumme zu der angegebenen Zerlegung hin.
Dann taucht darin die Summe aus Satz

2.5

mit einem Vorfaktor auf.

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16:55 Uhr, 31.01.2011

Das ist doch so:

Of(z): Obersumme

Of(z)=

\sum_{i = 1}^{n} M_{i} \cdot Δ x

Intervalllängen:

Δ x_{i} = x_{i} - x_{i - 1} i = 1,2,3, ..., n

M_{i} =

Supremum

f (x)

x \in {x_{i - 1}, x_{i}}

Δ x

ist doch dann

\frac{1}{n},

oder?
Was ist denn das supremum? Das steigt doch für jedes Teilintervall.

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17:24 Uhr, 31.01.2011

Ist das richtig:
Obersumme
Of(x)

= f (x_{1}) \cdot (x_{1} - x_{0}) + f (x_{2}) \cdot (x_{2} - x_{1}) + . .

+ f (x_{n}) \cdot (x_{n} - x_{n - 1})

\sum_{k = 1}^{n} f (x_{k}) (x_{k} - x_{k - 1})

Untersumme
Uf(x)

= f (x_{0}) \cdot (x_{1} - x_{0}) + f (x_{1}) \cdot (x_{2} - x_{1}) + . .

+ f (x_{n}) \cdot (x_{n} - x_{n - 1})

\sum_{k = 1}^{n} f (x_{k - 1}) (x_{k} - x_{k - 1})

hagman aktiv_icon

19:03 Uhr, 31.01.2011

Sieht (aufgrund der Monotonie von

f)

richtig aus.
Jetzt noch flugs

x_{k} - x_{k - 1}

einfacher ausgedrückt,

f (x_{k})

bzw.

f (x_{k - 1})

anhand der getroffenen Wahl von

x_{k}

sowie der Definition von

f

ausdrücken und

. .

. ?!

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