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Äquidistante Zerlegung in Teilintervalle

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Obersumme, Untersumme, Zerlegung

matthias88 aktiv_icon

21:48 Uhr, 05.04.2016

Hallo Leute,

ich brauche eine Lösung mit ausführlichen Lösungswegen. Am besten ist es wenn ihr die Zwischenschritte erklärt, damit ich das raffe.
Dies ist keine Hausaufgabe. Das sind Übungsaufgaben, die ich verstehen möchte, um die Klausur zu bestehen.
Die Aufgabe ist als Bild angehängt worden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

matthias88 aktiv_icon

23:22 Uhr, 05.04.2016

Hallo, kann mir netterweise bitte einer helfen? Wäre echt super.

Shipwater aktiv_icon

00:01 Uhr, 06.04.2016

I = [0, a]

soll in

n

gleich große (wegen "äquidistante Zerlegung") Intervalle unterteilt werden. Das wären dann die Intervalle

[0, \frac{a}{n}], [\frac{a}{n}, \frac{2 a}{n}], ..., [\frac{(n - 2) a}{n}, \frac{(n - 1) a}{n}], [\frac{(n - 1) a}{n}, a]

. Für die Untersumme benötigst du nun den kleinsten Wert der Funktion

f (x) = e^{x}

auf jedem der Teilintervalle. Weil die e-Funktion streng monoton wachsend ist, ist dies stets der Funktionswert am linken Randpunkt des Intervalls. Die Formel für die Untersumme sagt dir dann:

U (Z_{n}) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{a}{n} e^{\frac{k a}{n}}

. An der Obersumme darfst du dich gerne erstmal selbst versuchen. Weiter ist

U (Z_{n}) = \frac{a}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} {(e^{\frac{a}{n}})}^{k} = \frac{a}{n} \frac{e^{a} - 1}{e^{\frac{a}{n}} - 1}

nach der geometrischen Summenformel. Überlege dir, dass

lim_{n \to \infty} U (Z_{n}) = e^{a} - 1

. Das ganze kann man natürlich mit dem Hauptsatz überprüfen:

\int_{0}^{a} e^{x} d x = {[e^{x}]}_{0}^{a} = e^{a} - e^{0} = e^{a} - 1

.

Gruß Shipwater

matthias88 aktiv_icon

11:52 Uhr, 06.04.2016

Die Lösung für die Untersumme ist dann also die, die du als letztes U(Zn) geschrieben hast?

Shipwater aktiv_icon

11:55 Uhr, 06.04.2016

Das wäre zumindest die ausgerechnete Form von

U (Z_{n})

matthias88 aktiv_icon

12:37 Uhr, 06.04.2016

Könntest du mir vielleicht die Zwischenschritte aufschreiben wie du das Endergebnis für

U (Z_{n})

berechnet hast? Dann kann ich das besser verstehen und beim Berechnen der Obersumme hilfreich wird.

Shipwater aktiv_icon

14:24 Uhr, 06.04.2016

Es steht doch schon da: Geometrische Summenformel. Schlage diese nach, setze entsprechend ein, fertig.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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