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Äquivalenz und Ähnlichkeit von Matrizen
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrizenrechnung
 
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Hi, ich habe folgende Matrizen gegeben: Nun soll ich überprüfen, ob diese Matizen äquivalent bzw. ähnlich sind. Zur Äquivalenz könnte ich ja folgendermaßen vorgehen: Ich muss die Matriz A durch das Guass Verfahren auf die reduzierte Treppenform (entspricht hier der Einheitsmatix) bringen. Aber irgend etwas kann doch da nicht stimmen. Ich kann eine Matrix doch immer auf die Einheitsmatrix bringen, oder? Zur Äquivalenz habe ich nur gelesen, was alles gilt, wenn zwei Matrizen äquivalent sind. "WENN zwei Matrizen ähnlich sind, DANN haben sie den gleichen Rang, die gleiche Spur, die gleiche Determinante, das gleiche charakteristische Polynom, das gleiche Minimalpolynom, die gleiche Jordannormalform. Die Umkehrung gilt aber nicht. Bloß weil zwei Matrizen die gleiche Determinante oder die gleiche Spur haben, müssen sie noch lange nicht ähnlich sein." Wie kann ich aber nun den umgekehrten Fall prüfen? Würde mich über eure Hilfe freuen :-) |
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ist nicht äquivalent zu Einheitsmatrix, denn sie hat andere Eigenwerte. Ähnlichkeit kann man mit Gauss nicht untersuchen. Es geht über die Jordan-Normalform. |
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Also um zu testen ob zwei Matrizen äquivalent sind muss ich nur die Eigenwerte vergleichen? Meine Umformumg wäre also falsch, oder? Zur Ähnlichkeit haben wir folgende Bedingung definiert A ähnlich zu wenn Hilft mir das weiter? Zum anderen habe ich gelsen, dass es bei einer Matrix eine einfache Möglichkeit gibt die Ähnlichkeit zu prüfen. Mämlich anhand des Minimalpolynoms? |
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"Also um zu testen ob zwei Matrizen äquivalent sind muss ich nur die Eigenwerte vergleichen?" Nicht nur. "Meine Umformumg wäre also falsch, oder?" Falsch vermutlich nicht, nur kann man damit die Ähnlichkeit nicht zeigen. Sorry, aber es geht für Dich kein Weg vorbei an der Theorie, Du musst zuerst mal lernen, was Jordan-Normalform, das charakteristische und das minimale Polynom, algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte etc. sind. Wenn Du das schon alles kennst, dann soll die Aufgabe keine Probleme bereiten, die Jordan-Normalform zu bestimmen ist hier einfach. Und das reicht, denn http//www.onlinemathe.de/forum/A-B-aehnlich-gdw-haben-gleiche-JNF |
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Also ich habe jetzt mal nach der Jordan-Normalform gegoogelt und ich muss sagen, dass wir das sicher nicht in der Vorlesung behandelt haben. Auch das minimale Polynom haben wir nicht behandelt. Das charakteristische Polynom, algebraische und geometrische Vielfachheitder Eigenwerte sagen mir etwas. Zudem haben wir die Diagonalisierung behandelt und dort festgestellt, dass bei der Matrixdiagonalisierung eine ähnliche Matrix heraus kommt. Meine Idee (mit meinen beschränkten Kenntnissen) die Aufgabe zu lösen ist also folgende: Ich bringe die gegebene Matrix A auf Diagonalform. Dann kann ich sie ja mit der Matrix (die ja schon in der Diagonalform steht) vergleichen. Ich würde für die Eigenwerte von A zum einen ca. und herausbekommen. Diese Eigenwerte würden dann ja auf der Diagonalen der Diagonalmatrix stehen. Also kann die Matrix A nicht ähnlich der Matrix sein, da sich ihre Diagonalmatrizen unterscheiden. (Anmerkung: bei A müsste man ja noch prüfen, ob die alg und geo Vielfachheit der Eigenwerte gleich sind. Sollte das aber nicht der Fall sein, ist die Matrix nicht diagonalisierbar, dh. sie kann dann sowieso nicht ähnlich der Matrix sein, die ja diagonalisiert ist.) Wäre diese Begründung so schlüssig? Dann wäre zumindest mal die Frage der Ähnlichkeit geklärt. Wüsstest du einen Ansatz um die Äquivalenz zu prüfen? Man kann ja testen ob die Eigenwerte gleich sind. Aber selbst wenn das der Fall sein sollte, können sie ja immernoch nicht äquivalent sein. Wenn man Glück hat (so wie in meinem Beispiel) stellt sich heraus, dass die Eigenwerte verschieden sind und die Matrizen damit nicht äquivalent sind. Wir haben mal in der Vorlesung behandelt, dass man 2 Matrizen miteinander vergleichen kann, wenn man sie auf die "reduzierte Dreiecksform" bringt. Dazu unten ein Bild, damit du verstehen kannst was ich damit meine. Aber das ist bei einer Matrix etwas schwierig anzuwenden,oder?  |
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"Wäre diese Begründung so schlüssig?" Ja. "Wüsstest du einen Ansatz um die Äquivalenz zu prüfen? Man kann ja testen ob die Eigenwerte gleich sind. Aber selbst wenn das der Fall sein sollte, können sie ja immernoch nicht äquivalent sein. Wenn man Glück hat (so wie in meinem Beispiel) stellt sich heraus, dass die Eigenwerte verschieden sind und die Matrizen damit nicht äquivalent sind." Und wenn man Pech hat, dann geht es über geometrische Vielfachheit und Jordan-Normalform. Es gibt keinen anderen Weg. |
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Ok, da wir das aber nicht behandelt haben, denke ich dass das in der Prüfung nicht drankommen wird. Um ehrlich zu sein, war das mit der Äquivalenz in der Aufgabe garnicht gefragt. Mich hat es aber trotzdem interessiert. Aber ich denke das geht dann zu tief in die Materie xD. Gibt es eigentlich eine Zusammenhang zwischen Äquivalenz und Ähnlichkeit. Also wie . "Wenn zwei Matrizen äquivalent sind, dann sind sie auch immer ähnlich". Oder beschreiben die zwei Begriffe ganz andere Eigenschaften? |
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Wie ist die Äquivalenz in diesem Fall definiert? |
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Gute Frage. Bedeutet äquivalent, dass die Matrizen gleich sind? EDIT: Äquivalent bedeutet, dass man die Matrizen durch Zeilenumformungen ineinander umformen kann. |
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Dann sind ähnliche Matrizen äquivalent, umgekehrt ist es nicht immer so. |
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Ok, danke für deine Hilfe :-) |
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