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Äquivalenz von Matrizen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Ähnlichkeit, Äquivalenz, Matrizenrechnung

 
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pmahr

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08:57 Uhr, 20.09.2016

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Hallo,
ich habe eine Frage zur Äquivalenz bzw. Ähnlichkeit zweier Matrizen.
Per Definition sind zwei Matrizen (∈Kmxn) äquivalent, falls invertierbare Matrizen T∈Knxn und S∈Kmxm existieren mit A'=SAT-1. Dann ist A~A'. Für ähnliche Matrizen (∈Knxn) gilt dasselbe, nur soll es nur eine invertierbare Matrix T∈Knxn geben mit A'=TAT-1.
Das Prinzip habe ich verstanden. Dass zwei Matrizen äquivalent sind, zeige ich zum Beispiel darüber, dass deren Rang gleich ist.

Nun ist die Frage, wie ich diese zwei (bzw. eine) Matrix S und T bestimmen kann, damit obiges gilt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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michaL

michaL aktiv_icon

09:16 Uhr, 20.09.2016

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Hallo,

es gibt eine ordentliche Menge an Eigenschaften, die ähnliche Matrizen gemeinsam haben. Diese müssen also erfüllt sein, damit zwei Matrizen überhaupt ähnlich sein können. Dazu zählen etwa:
* gleiches Minimalpolynom
* (ergo) gleiche Eigenwerte
* gleiche Determinante

Leider sind diese Eigenschaften alle "nur" notwendig, aber nicht hinreichend. Folglich kann man damit aber vielleicht zeigen, dass zwei Matrizen NICHT ähnlich sind.

Für diagonalisierbare/trigonalisierbare Matrizen reicht es aber zu zeigen, dass beide gegebenen Matrizen zur gleichen Diagonalmatrix/Jordanmatrix ähnlich sind, da Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation ist.

Eine direkte Möglichkeit, die Matrix T in Aʹ=TAT-1 herauszufinden, läuft über Aʹ=TAT-1⇔TAʹ=TA⇔T(Aʹ-A)=0 und einen Ansatz für T. Du erhältst ein Gleichungssystem mit n2 Variablen und auch n2 Gleichungen. Da da LGS homogen ist, gibt es entweder keine oder mehrere Lösungen. (Noch ein Kriterium um festzustellen, ob die Matrizen ähnlich sind.)

Bei äquivalenten Matrizen gibt es auch eine Art "Normalform": Eine Diagonalmatrix mit Einsen und Nullen auf der Diagonalen. Dabei sind es genau so viele Einsen wie die entsprechende Matrix als Rang hat. Bei der Ermittlung des Rangs der Matrix ermittelst du im Prinzip auch die beiden Matrizen.
Es gibt einen Standardweg, die beiden Basiswechselmatrizen S und T zu bestimmen. Genaueres findest du in der Vorlesung, der Mitschrift oder auch im Internet. Ein Beispiel kann ich zwar vorrechnen, du verstehst aber sicher, dass die Niederschrift in diesem Forum als anstrengend angesehen werden kann.

Mfg Michael
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