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Äquivalenzbeweis

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Tags: Äquivalenzbeweis, Matrizenmultiplikation

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14:19 Uhr, 13.01.2018

Hallo,

ich bräuchte Unterstützung bei folgender Aufgabe:

Es sei

n \geq 2

und sei A eine

n

n

Matrix mit Einträgen in einem Körper K. Zeigen
Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i)

Für alle

B

∈ Mat n×n

(K)

gilt AB = BA.

(i i)

Es gibt c∈

K

mit

A = c 1_{n}

(1_{n}

soll für die Einheitsmatrix stehen, hab aber leider nicht herausgefunden wie ich die 1 anders darstelle)

Mir ist klar, dass sowohl A als auch

B

Vielfache der Einheitsmatrix sein müssen, sonst gilt

(i)

nicht. Somit wäre mir klar warum

(i i)

äquivalent dazu ist, jedoch weiß ich nicht wie ich das jetzt genau beweisen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Multiplikation

ermanus aktiv_icon

14:36 Uhr, 13.01.2018

Hallo,

(i) besagt insbesondere, dass

A E_{i j} = E_{i j} A

ist für

i, j = 1 . . ., n

,
wobei

E_{i j}

die Matrix ist, die in der Position

(i, j)

eine

1

und sonst
nur Nullen besitzt.
Ferner betrachte

A P_{i j} = P_{i j} A

, wobei

P_{i j}

die Matrix ist, die aus der Einheitsmatrix
durch Vertauschen der

i

-ten und

j

-ten Zeile entsteht.
Vielleicht kannst du damit etwas anfangen ...

Gruß ermanus

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15:18 Uhr, 13.01.2018

Hallo,

du sprichst doch bei

P_{i},_{j}

von der Elementarmatrix oder nicht? Zumindest habe ich deine Antwort so verstanden.
Aber nein mir ist nicht ganz klar, was ich daraus entnehmen soll.

Gruß Nakrama

ermanus aktiv_icon

15:42 Uhr, 13.01.2018

Machst du dir keine Beispiele ?
Man muss doch häufig ein bisschen herumexperimentieren,
damit man die Zusammenhänge versteht ...
Die

P_{i j}

braucht man wohl gar nicht ...

Sei also z.B.:

A = (\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array})

.
Dann ist

A E_{12} = (\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & a_{11} \\ 0 & a_{21} \end{array})

und

E_{12} A = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}) = (\begin{array}{cc} a_{21} & a_{22} \\ 0 & 0 \end{array})

Hieran siehst du:

a_{21} = 0

und

a_{11} = a_{22}

.

Entsprechend liefert

A E_{21} = E_{21} A

die Gleichngen

a_{12} = 0

und nochmals

a_{11} = a_{22}

.

Damit ist

A

eine Diagonalmatrix der Form

c \cdot 1_{2}

, wie gewünscht (

c = a_{11}

).

Untersuche entsprechend den Fall einer

3 \times 3

-Matrix. Dann wirst du wissen,
wie es allgemein geht ...
Schließlich schreibst du deine Erkenntnisse in allgemeiner Form für
beliebiges

n \geq 2

hin.

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16:46 Uhr, 13.01.2018

Okay, hat ein bisschen gedauert bis ich verstanden habe, was du damit so insgesamt meinst, aber ich habs jetzt. Dennoch frage ich mich, ob ich dann die

3 x 3

Matrix mit

E_{13}

multipliziere?

Oder mit welcher dann sonst?

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17:10 Uhr, 13.01.2018

Vielleicht hab ich's falsch gemacht, aber wenn ich

A \cdot E_{13}

genauso durchführe fehlt mir die mittlere 1 ins der

3 x 3

Matrix. Ich komme dann wie du auch darauf, dass zwei Zahlen identisch sind, jedoch fehlt dann doch noch eine?

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17:34 Uhr, 13.01.2018

Was passiert denn, wenn du zusätzlich noch

E_{23}

und / oder

E_{12}

verwendest?
Kann ja sein, dass man alle

E_{i j}

mit

i \neq j

benötigt, damit man
genug Gleichungen bekommt.

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18:19 Uhr, 13.01.2018

Mit sowohl

A \cdot E_{12},

als auch

A \cdot E_{23}

komme ich dann auf

a_{22} = a_{33}

und auf

a_{22} = a_{11}

.
Somit hätte ich meine Einheitsmatrix:

A = c \cdot 1_{3}

mit

c = a_{11}

(?)

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18:37 Uhr, 13.01.2018

Ja, das ist prima!
Nun musst du das nur noch irgendwie für beliebige

n \geq 2

formulieren.
Das ist im Wesentlichen wohl ein Formulierungsproblem;
denn was hier prinzipiell passiert, hast du ja an deinen Beispielen
n=2 und n=3 erfahren können.
Du könntest dir z.B. auch noch überlegen, dass allgemein für

i \neq j

E_{i j} E_{i j} = 0

ist, also die Nullmatrix

.

Es ist

E_{i j} A E_{i j}

gleich der Matrix, die an der Stelle

(i, j)

den
Wert

a_{j i}

hat und sonst nur Nullen.
Nun ist aber nach Voraussetzung (i):

E_{i j} A E_{i j} = A E_{i j} E_{i j} = A \cdot 0 = 0

, woraus du

a_{j i} = 0

für alle

i \neq j

schließen kannst.
Damit bist du schon mal die Nichtdiagonalelemente los !
Jetzt gehe ich offline ... Also bis später oder morgen ...
Gruß ermanus

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13:14 Uhr, 14.01.2018

Okay, ich verstehe was du meinst, ja, die Formulierung ist das letzte Problem, wie du schon sagst..
Es geht aber gerade schon um die Richtung (i)

\Rightarrow (i i)

?

Die Rückrichtung ist wahrscheinlich auch nicht einfacher zu formulieren, nehme ich an..

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13:17 Uhr, 14.01.2018

Hallo,

(i i) \Rightarrow (i)

ist fast "trivial"; denn die Einheitsmatrix ist
mit jeder anderen Matrix vertauschbar.

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13:29 Uhr, 14.01.2018

Oh ja, tatsächlich, merk ich jetzt auch :-D)

Kommen wir zurück zu (i)

\Rightarrow (i i) :

Jetzt bleibt ja nur noch die Diagonale, jedoch scheint es mir, als wäre dafür ein anderer Ansatz nötig.
Ich überlege nur, welcher Sinn macht.

E_{i} j \cdot E_{i} j = 1_{n}

vielleicht?

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13:38 Uhr, 14.01.2018

Nö,
wir hatten ja gerade gesagt, dass

E_{i j} E_{i j} = 0

ist für

i \neq j

und

E_{i i} E_{i i} = E_{i i}

bringt's wohl auch nicht.
Aber was ist mit dem ursprünglich von mir angedachten

P_{i j}

,
also der Elementarmatrix, die die

i

-te Zeile (Spalte) mit der

j

-ten Zeile (Spalte)
vertauscht, wenn man

P_{i j} A

(bzw.

A P_{i j}

) bildet?
Das sollte wohl einen Versuch wert sein ...

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14:03 Uhr, 14.01.2018

Ja, tatsächlich meinte ich

E_{i} j \cdot E_{i} j = 1_{n}

mit

i = j

.

Vom Prinzip her funktioniert doch nur:

P_{1,3} \cdot A = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix})

, da ja

i \neq j

sein muss.

Oder nicht?

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14:16 Uhr, 14.01.2018

Wenn wir mithilfe der

E_{i j} A E_{i j} = 0

für

i \neq j

bereits herausbekommen haben, dass

a_{j i} = 0

für alle

i \neq j

ist,
dann ist unsere Matrix

A

ja nur noch eine Diagonalmatrix

A = d i a g (a_{11}, a_{22}, \dots, a_{n n})

.
Nun ist ja offenbar

P_{i j} = P_{i j}^{- 1}

, also gilt

P_{i j} A = A P_{i j} \overset{}{\Leftrightarrow} P_{i j} A P_{i j} = A

.
Wenn man in der Diagonalmatrix

A

die

i

-te und

j

-te Zeile vertauscht
und dann die

i

-te und

j

-te Spalte vertauscht, werden die Diagonalelemente

a_{i i}

und

a_{j j}

vertauscht. Da dies aber keine Wirkung haben soll (da

P_{i j} A P_{i j} = A

),
ist

a_{i i} = a_{j j}

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14:36 Uhr, 14.01.2018

Und daraus folgt:

a_{11} = a_{22} = a_{33} = ... = a_{n} n

Somit sind die Diagonalelemente von A alle gleich, alle anderen drum herum sind gleich 0 und somit folgt

(i i),

nämlich dass

A = c 1_{n}

gilt.

Sehe ich das richtig?

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14:38 Uhr, 14.01.2018

Ich sehe das genauso :-)

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15:10 Uhr, 14.01.2018

Ich versuche das grade zusammenzufassen.
Mir ist grad aufgefallen, dass du ja bei den Elementen herum um die Diagonalelemente von

E_{i} j \cdot E_{i} j = 0

für

i \neq j

ausgegangen bist, müsste ich das nicht theoretisch nicht auch noch beweisen? Und wenn ja, wie beweise ich das?

ermanus aktiv_icon

15:57 Uhr, 14.01.2018

OK! Dann wollen wir

E_{i j} E_{i j} = 0

für

i \neq j

mal beweisen:
Für eine beliebige Matrix

M

soll

(M)_{s t}

das Element an der Position

(s, t)

bedeuten. Nach Definition der Matrixmultiplikation gilt dann für

k, l = 1, \dots, n

(E_{i j} E_{i j})_{k l} = \sum_{r = 1}^{n} (E_{i j})_{k r} (E_{i j})_{r l} .

Wenn ein Summand dieser Summe

\neq 0

wäre, müsste

(E_{i j})_{k r} \neq 0

und

(E_{i j})_{r l} \neq 0

sein,
d.h.

i = k \land j = r \land i = r \land j = l

, also i.b.

i = r = j

im Widerspruch zu

i \neq j

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16:42 Uhr, 14.01.2018

Also ich hab es jetzt wie folgt zusammengefasst:

(i)

\Rightarrow (i i) :

Besitze A die Form:

A = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1} n \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n} 1 & \dots & a_{n} n \end{matrix})

.
Sei

E_{i} j

die Matrix, die an der Position

(i, j)

eine 1 besitzt mit

i, j = 1, . .

, n

und sonst Nullen.
Nun besagt

(i),

dass

A \cdot E_{i} j = E_{i} j \cdot A

gilt.
Es gelte

E_{i} j \cdot E_{i} j = 0

(Also die Nullmatrix) für

i \neq j

. Für eine beliebige Matrix

M

soll (M)_st das Element an der Position

(s, t)

sein.
Nach der Definition der Matrizenmultiplikation gilt dann für

k, l = 1, . .

, n :

(E_{i} j E_{i}

j)_kl

= \sum_{r = 1}^{n} (E_{i}

j)_kr

(E_{i}

j)_rl .
Wenn ein Summand dieser Summe

\neq 0

wäre, müsste

(E_{i}

j)_kr

\neq 0

und

(E_{i}

j)_rl

\neq 0

sein,

d . h

i = k \land j = r \land i = r \land j = l,

also insbesondere

i = r = j,

das widerspricht

i \neq j

. Somit muss

E_{i} j \cdot E_{i} j = 0

gelten.
Also folgt daraus für

E_{i} j \cdot A \cdot E_{i} j,

dass sie der Matrix entspricht, welche an der Stelle

(i, j)

den Wert

a_{i} j

hat und sonst nur Nullen.
Nach

(i)

folgt

E_{i} j \cdot A \cdot E_{i} j = A \cdot E_{i} j \cdot E_{i} j = A \cdot 0 = 0

für alle

i \neq j

ergibt.
Somit erschließt sich daraus, dass A nur noch eine Diagonalmatrix. mit

A = d i a g (a_{11}, a_{22}, . .

, a_{n} n)

ist.
Da

T_{i} j = T_{i} j^{- 1}

ist, gilt

T_{i} j \cdot A = A \cdot T_{i} j \Leftrightarrow T_{i} j \cdot A \cdot T_{i} j = A

. Wenn man anschließend in der Diagonalmatrix A die i-te und j-te Zeile und die i-te und j-te Spalte vertauscht, werden die Diagonalelemente

a_{i} i

und

a_{j} j

vertauscht, folgt daraus, dass

a_{i} i = a_{j} j

ist
, da

T_{i} j \cdot A \cdot T_{i} j = A

gilt.
Abschließend folgt daraus:

a_{11} = a_{22} = a_{33} = . .

= a_{n} n,

alle anderen Einträge herum Nullen sind, also hat A die Form

c \cdot 1_{n}

.

Ist das so schlüssig und vor allem richtig?

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17:17 Uhr, 14.01.2018

"Sei

E_{i j}

die Matrix ..."

sollte eher so lauten:

Sei für

i, j = 1, \dots, n

E_{i j}

die Matrix, die an ...

Die Voraussetzung (i) hat insbesondere zur Folge, dass

A \cdot E_{i j} = E_{i j} \cdot A

gilt.

"Es gelte

E_{i j} E_{i j} = 0

..." ist unsinnig. Das ist doch keine Voraussetzung,
sondern eine Tatsache:

Es gilt (!)

E_{i j} E_{i j} = 0

(=Nullmatrix) für

i \neq j

. Um dies zu beweisen, verwende ich die
folgende Schreibweise: Für eine beliebige Matrix ....

" ... Somit muss

E_{i j} E_{i j} = 0

gelten."

"Also folgt daraus für

E_{i j} A E_{i j}

, dass ..." <-- falsch

Das folgt keineswegs daraus, sondern es ist einfach so, dass

E_{i j} A E_{i j}

eine Matrix ist, die an der Stelle

(i, j)

den Wert

a_{j i}

(nicht den Wert

a_{i j}

!!!) hat und sonst ...

Du musst noch sagen, was deine

T_{i j}

bedeuten sollen :-)

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17:24 Uhr, 14.01.2018

Aber abgesehen von dem Formulierungen passt es sowei alles?

T_{i} j

ist im Skript definiert als die Elementarmatrix zur Vertauschung von Zeilem/Spalten, deswegen bin ich davon ausgegangen, dass ich es nicht mehr extra erläutern muss.

ermanus aktiv_icon

17:28 Uhr, 14.01.2018

Ja, ich finde es so nachvollziehbar und vollständig. Wegen der

T_{i j}

solltest du in Klammern dazusetzen "(siehe Script S. ...)".
Das war ja nun mal ein dickerer Brocken ;-)
Vielleicht gibt es eine viel einfachere Methode. Die wäre mir dann
halt leider nicht eingefallen.

Gruß ermanus

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17:55 Uhr, 14.01.2018

Selbst wenn, ich hab diese Methode jetzt verstanden, sofern sollte eine einfachere Methode leicht zu verstehen sein. :-)

Bzgl der Rückrichtung, reicht es wenn ich schreibe:

A \cdot B = (c \cdot 1_{n}) \cdot B = ((c_{11} \cdot b_{11}, . .

, c_{1} n \cdot b_{1} n), (. .

, . .

, ...), (c_{n} 1 \cdot b_{n} 1, . .

, c_{n} n \cdot b_{n} n))

= B \cdot (c \cdot 1_{n}) = B \cdot A

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18:07 Uhr, 14.01.2018

Ich würde es gar nicht so runterdröseln, sondern nur schreiben:

A \cdot B = (c \cdot 1_{n}) \cdot B = c \cdot (1_{n} \cdot B) = c \cdot B = c \cdot (B \cdot 1_{n}) = B \cdot (c \cdot 1_{n}) = B \cdot A

.

Hier hat man nur die Regeln der Matrizenmultiplikation (Assoziativität, Vertauschbarkeit mit
Skalaren und Eigenschaften des neutralen Elements der Multiplikation) verwendet.

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18:16 Uhr, 14.01.2018

Ach wunderbar.

Dann vielen vielen Dank, für diese umfangreiche Hilfe! :-)

Gruß Nakrama

1409654

1409310

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