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Äquivalenzklassen bestimmen

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Relationen

Tags: Äquivalenzklassen, Äquivalenzrelation, Relation.

MarcNedford aktiv_icon

10:02 Uhr, 16.10.2008

Hallo,

Ich hatte die Frage gestern schon gestellt, aber irgendwie kann man den Beitrag nicht mehr einsehen. Deswegen schreib ich es hier einfach nochmal. Auf NxN sei folgende Relation gegeben: $(a, b) ~ (a^{'}, b^{'}) : \Leftrightarrow a + b^{'} = b + a^{'}$

Nun soll ich dafür alle Äquivalenzklassen bestimmen. Ich habe in nem anderen Forum gelesen, dass das Problem wohl so oder so ähnlich zu lösen ist:

$a + b^{'} = b + a^{'} \Leftrightarrow a - a^{'} = b - b^{'}$

Es geht also um die Differenzen, demnach sind die Äquivalenzklassen unendlich viele und zwar: $[0] = a - a^{'} = 1 - 1 = 2 - 2 = ... = 0 [1] = a - a^{'} = 2 - 1 = 3 - 2 = ... = 1$ demnach gibt es dann unendlich viele. Ist das so richtig oder verstehe ich da was falsch? Wenn es falsch ist, kann mir vielleicht jemand helfen wie ich auf die Äquivalenzklassen komme?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

MarcNedford aktiv_icon

17:09 Uhr, 16.10.2008

Also ich glaube mittlerweile, dass die äquivalenzklassen wohl aus zwei Zahlen bestehen müssen also [(1,2)] = irgendwas... heisst ja schließlich NxN oder? Bin immer noch für jede Hilfe dankbar

anonymous

21:35 Uhr, 16.10.2008

Hi,

ich würde wohl eine andere Umformung bevorzugen:

a + b ʹ = b + a ʹ \Leftrightarrow a - b = a ʹ - b ʹ

Es ist also die Äquivalenzklasse der Zahlen, bei denen der "Abstand" gleich ist (mit Vorzeichen). Also z.B. bei dem Zahlentupel

(1, 2)

wäre der Abstand

- 1

, daher wäre in der Äquivalenzklasse z.B.

[(1, 2)] := {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)

...

}

dabei bin ich mir nicht ganz sicher, ob

a, b

natürliche Zahlen seien sollen... Und, ja, deine Äquivalenzklassenvertreter sind 2er-Tupel =)

Gruß
Tobias

MarcNedford aktiv_icon

11:58 Uhr, 17.10.2008

Hey Tobestar,

Erstmal Danke, dass du mir auch heir weiterhilfst

= D .

So zum Problem, danke für das Beispiel ich glaub ich versteh jetzt schon einiges mehr, jetzt hab ich nur ein Problem mit der "Formalität" denn laut Aufgabe heisst es, gebe ALLE Äquivalenzklassen an. Naja aber laut meiner Überlegung gibt es ja unendlich viele. Ist es jetzt korrekt wenn ich das folgend schreibe:

[(0,0)] := {(1,1); (2,2); (3,3); ...; (k, k)}

mit

k

€

N

[(1,0)] := {(2,1); (3,2); (4,3); ...; (k, k - 1)}

mit

k > 1, k

€

N

...

[(n,0)] := {(k, k - n)}

mit

k

€

N

und

n

€

N

Hätte ich damit ALLE Äquivalenzklassen beschrieben? Wenn nein wie müsste ich das schreiben? Sind ja schließlich unendlich viele also selbst mti größtem Fleiß nicht niederschreibbar

= D

. Desweiteren erwartet der Professor eine "Skizze" ich hab ehrlichgesagt überhaupt keien Idee, was ich dazu aufzeichnen sollte...

Grüße,

Ramon

P . S . :

Sorry kann hier in der Arbeit den Editor nicht benutzen muss mir deswegen anders helfen aber hoffe jeder erkennt die Zeichen auch so

; P

anonymous

14:57 Uhr, 17.10.2008

Hallo erstma =)

Naja, du hast z.B. nicht die Äquivalenzklassen

[(0, 1)], [(0, 2)], [(0, 3)]

...

[(0, k)], k \in ℕ

oder

[(1, 2)], [(4, 2)], [(2, 9)]

... etc. beschrieben (obwohl nach längerer Überlegung müssten diese "Mischtupel" ohne Null in einer der Äquivalenzklassen mit Null liegen). Dieses Angeben von allen Äquivalenzklassen ist meistens einfacher als man denk =)

Betracht z.B. den Vertreter einer beliebigen Äquivalenzklasse

(n, m), n, m \in ℕ

das Tupel

(a, b), a, b \in ℕ

heißt zu

(n, m)

äquivalent, wenn:

n + b = m + a \Leftrightarrow n - m = a - b

(soweit waren wir ja schon ;-)
Also wäre die Äquivalenzklasse:

[(n, m)] := {(a, b) \in ℕ \times ℕ ∣ n - m = a - b}

du hättest aber auch gleich angeben können:

[(n, m)] := {(a, b) \in ℕ \times ℕ ∣ n + b = m + a}

Denn in der Äquivalenzklasse sind ja alle diejenigen Tupel, die die oben beschriebene Relation erfüllt.

Bei der Skizze bin ich mir allerdings nicht so wirklich sicher. Wenn die Tupel nicht aus zwei natürlichen, sondern aus zwei reellen Zahlen bestehen würden, dann wäre z.B. die Äquivalenzklasse

[(0, 0)]

die Winkelhalbierende im Koordinatensystem, da auf dieser

x - y = x - f_{W H} (x) = 0

gilt.
Bei der Äquivalenzklasse

[(0, 2)]

wäre

0 - 2 = - 2

, also brauchen wir eine lineare Funktion

f_{(0, 2)}

, so dass

x - f (x) = - 2

gilt, also:

0 - f_{(0, 2)} (x) = - m x - b \Rightarrow - f_{(0, 2)} (0) = - m 0 - b = - b = - 2 \Leftrightarrow b = 2

außerdem gilt:

(1, 3) \in [(0, 2)]

, also:

1 - f_{(0, 2)} (1) = 1 - m 1 - 2 = - 2 \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow f_{(0, 2)} (x) = x + 2

Somit wäre der Graph der Geraden

f_{(0, 2)} = x + 2

die Äquivalenzklasse von

(0, 2)

Allgemein gilt,

(a, b) \in [(n, m)] \Rightarrow (a + 1, b + 1) \in [(n, m)]

, denn:

a + 1 - (b + 1) = a - b = n - m

Wenn man sich das jetzt noch mal durchdenkt, dann müsste

f_{(n, m)} = x - (n - m)

sein.
Die "Äquivalenzklassen liegen somit parallel zueinander", was auch nicht weiter verwunderlich ist, da es ansonsten Schnittpunkte geben müsste, und wenn ein Element zu zwei (oder mehreren) Äquivalenzklassen gehört, dann sind die Äquivalenzklassen aufgrund der Transisitvität gleich.
Wenn es nur natürliche Zahlentupel sind, dann sind es eben alle die Punkte auf diesen Geraden, bei denen

x \in ℕ

gilt.

Gruß
Tobias

MarcNedford aktiv_icon

15:37 Uhr, 17.10.2008

Mit dem "ist einfacher als man denkt" hattest du sehr recht

= D

Danke vielmals für deine Hilfe, mal wieder

; D

. Is eigentlich alles gar net so schwer wenn man jemanden hat ders einem vernünftig erklärt

= D

. Alsodanke nochmal. Ach ja wegen der Skizze, vielleicht mal ich einfach ein paar Äquivalenzklassen oder so und geb das einfach mit ab. Denke ich werd auch so meine Punkte drauf bekommen.

Also Danke nochmal!

Grüße,

m00ni

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