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Affine Abbildung mit Variable, wann nicht affin?

Schüler Grundschule, 3. Klassenstufe

Tags: Affine Abbildung, kollineare Punkte

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01:01 Uhr, 01.11.2009

Hallo, Google hat dieses Forum als eines der ersten Matheforen ausgespuckt, von daher hab ich mich hier mal angemeldet um eine Aufgabe zu besprechen. Wozu ich bei der Anmeldung aber soviele Informationen wie Schule, Schulnote und Namen angeben musste ist mir unklar.

Aber zurück zur Mathematik.
In meiner Klausur der

13.1

war eine verflixte letzte Aufgabe enthalten:

Eine affine Abbildung

f_{k}

bildet

P_{1} (- 1 | 1) \to P_{1}' (0 | k - 1),

P_{2} (0 | 1) \to P_{2}' (- 1 | k + 1),

P_{3} (k | 4) \to P_{3}' (11 k + 2 | - 2)

a)

Bestimme die Abbildungsgleichung von

f_{k}

in Matrizenschreibweise

b)

Für welche

k ε ℝ

ist

f_{k}

keine affine Abbildung?

Lösung

a)

ist:

f_{k} (x) = (\begin{matrix} - 1 & 4 k + 1 \\ 2 & - k - 1 \end{matrix}) \vec{x} + (\begin{matrix} - 4 k - 2 \\ 2 k + 2 \end{matrix})

Die Richtigkeit dieser Lösung ist bestätigt.

Beim Verständnis hapert es extrem bei Teilaufgabe

b)

. Mein Lehrer gab als Ergebnis an, die Punkte dürfen nicht kollinear sein damit

f_{k}

keine affine Abbildung ist, soweit ich es verstanden habe. Mir unerklärlicher Weise drückt sich diese Eigenschaft in einer Matrix-Determinanten = Null aus, so folgt:

(- 1) \cdot (- k - 1) - (4 k + 1) \cdot 2 = 0

\Leftrightarrow k = - \frac{1}{7}

und

f_{- \frac{1}{7}} (x) = (\begin{matrix} 1 & \frac{3}{7} \\ 2 & - \frac{6}{7} \end{matrix}) \vec{x} + (\begin{matrix} - \frac{10}{7} \\ \frac{12}{7} \end{matrix})

damit sind die Punkte:

P_{1}' (0 | - \frac{8}{7})

P_{2}' (- 1 | \frac{6}{7})

P_{3}' (\frac{3}{7} | - 2)

die Werte stimmen mit denen in der Aufgabenstellung gegebenen Punktkoordinaten-Funktionen überein.

Ich verstehe jedoch nicht diese vorgegebene Lösung, da zu allererst ich den Begriff "Kollinearität" bei der Rückgabe der Klausur bedauerlicherweise zum ersten Mal hörte und damit nichts anzufangen wusste. Darum habe ich mich jetzt gekümmert.
Zweitens steht in der Definition der Formelsammlung "Das große Tafelwerk" von Cornelsen nichts in der Definition einer affinen Abbildung über Kollinearität der abgebildeten Punkte oder ähnlichem, nur in den Eigenschaften.
Außerdem sehe ich mit einem

k = - \frac{1}{7}

NICHT 'keine affine Abbildung'. So wie ich es gelernt habe, ist eine Abbildung dann affin, wenn ihre Abbildungsmatrix linear ist. Was gibt eine Determinante

A = 0

noch mehr her, als die Umkehrbarkeit einer Abbildung? Sie definiert ja keine affine Abbildung!

Es kann natürlich sein, dass ich total auf dem Holzweg bin hier, nur leider bin ich in einer verzwickten Lage. Eigentlich mein kompletter Kurs hat diese Aufgabe halbwegs "richtig" gelöst, aber wohl nur, weil sie nicht wussten wie zu lösen war und weil ihnen nichts besseres einfiel einfach mal die Determinante null gesetzt ala ein blindes Huhn findet auch mal ein Korn.

Ich behaupte nämlich, es gäbe kein

k

für welches

f_{k}

nicht affin sei, da die Bedingungen für eine lineare Abbildung immer gegeben wären, unabhängig von

k,

der Verschiebungsvektor spiele dabei keine Rolle.

Die Nachvollziehbarkeit dieser Aufgabe ist äußerst wichtig für mich, da ich eventuell wichtige Fehlerpunkte beanstanden kann und so eine höhere Notenpunktzahl erreichen könnte.

Um es kurz zu fassen: Was ist die Lösung für

b)

? Was ist richtig, was ist falsch?

Vielen, vielen Dank schonmal im Vorraus. Die Ergebnisse hab ich angegeben um euch die redundante Rechnerei zu ersparen und sind alle korrekt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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15:16 Uhr, 01.11.2009

Bin jetzt mal ganz unorthodox *bump*

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18:51 Uhr, 04.11.2009

"Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat."

Gut, dass jetzt schon Computer entscheiden, wann jemand noch interessiert ist oder nicht...

Dieses Forum scheint ja wirklich mehr ein Mach-mir-mal-meine-Hausaufgaben zu sein anstatt, dass hier wirklich über mathematische Zusammenhänge diskutiert wird - schade! Enttäuschend ist es auch, dass sich hier scheinbar keiner mit der Materie affiner Abbildungen auskennt oder wenigstens etwas zu sagen hätte dazu.

Ist ja jetzt auch egal, hab das Problem alleine lösen können.

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18:58 Uhr, 04.11.2009

Ich hatte deinen Beitrag schon direkt am 1.11. gelesen aber mir wurde bei soviel Selbstverliebtheit durch "aber wohl nur, weil sie nicht wussten wie zu lösen war und weil ihnen nichts besseres einfiel einfach mal die Determinante null gesetzt ala ein blindes Huhn findet auch mal ein Korn." so schlecht, dass ich meine ANtwort dann doch nicht abgeschickt habe.

Im Übrigen:

Wenn du nicht damit umgehen kannst wenn dir mal keiner antwortet dann gibt es zwei Möglichkeiten:

1) Finde dich damit ab und hoffe beim nächsten Mal auf Antwort
2) Lösche deinen Account und suche dir ein anderes Forum

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22:31 Uhr, 04.11.2009

Selbstverliebtheit? Bist du bei mir im Kurs? Wieso hast du das nicht gleich gesagt :-)
Wie gehts so Petra!

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