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Algebra endliche Gruppen

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Tags: endlich, Gruppen, Konjugationsklassen

anonymous

19:33 Uhr, 29.10.2019

Guten Tag
Ich muss vom Algebra diese Aufgabe lösen, komme aber nicht weiter:

Sei

G

eine endliche Gruppe mit genau zwei Konjugationsklassen. Beweise #G=2

Vielen Dank für eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

19:36 Uhr, 29.10.2019

Hallo,

überlege, wie viele Elemente die Konjugationsklasse des neutralen Elementes enthält.
Dann muss es ja mindestens eine weitere Konjugationsklasse geben.
Ziehe daraus deine Schlüsse.

(Beginne erstmal mit der ersten Sache!)

Mfg Michael

anonymous

19:43 Uhr, 29.10.2019

Also die Konjugationsgruppe des neutralen Elements besitzt ja genau ein Element, also braucht es noch eine weitere Konjugationsgruppe mit genau einem Element?

anonymous

20:35 Uhr, 29.10.2019

Hätte wohl jemand den Lösungsweg? Ich weiss dass ich es eigentlich selbst lösen sollte, muss es jedoch morgen gelöst haben und schaffe es in dieser kurzen Zeit nicht...

michaL aktiv_icon

20:51 Uhr, 29.10.2019

Hallo,

ok, musste doch ein bisschen weiter nachdenken.

Schreibe doch mal die Klassengleichung bzgl. der Konjugation hier auf.

Mfg Michael

michaL aktiv_icon

22:19 Uhr, 29.10.2019

Hallo,

na gut, hier eine geeignete Lösung. Ich gebe zu, dass die Kürze der Zeit (nur bis morgen Zeit) dafür spricht, als habest du dich nicht hinreichend damit auseinander gesetzt. Eine deiner beiden anderen Aufgaben ist ebenfalls recht einfach.
Soll heißen: Schäm dich!

Ok, wir wissen, dass es zwei Konjugationsklassen gibt, die von

e

(welche nur ein einziges Element enthält) und eine andere, etwa die von

x \neq e

, welche alle anderen Elemente enthalten muss. Ist

n := ∣ G ∣

, so gilt offenbar

∣ G ∣ = {e} \cup {g^{- 1} x g ∣ g \in G} = [G : G_{e}] + [G : G_{x}]

, was nicht anderes ist als die Klassengleichung (hatte i´mich da vertan im letzten posting).
Dabei ist mit

[G : G_{x}]

der Index Index des Stabilisators von

x

G

gemeint.
Offenbar ist

[G : G_{e}] = 1

und mit

n := G

demnach

[G : G_{x}] = ∣ G ∣ - 1 = n - 1

.
Da dies ein Teiler von

n = ∣ G ∣

ist, folgt, dass

n - 1

ein Teiler von

n

zu sein hat.
Anders ausgedrückt:

\frac{n}{n - 1} = 1 + \frac{1}{n - 1}

muss eine ganze Zahl sein. Ergo muss der Stammbruch

\frac{1}{n - 1}

eine ganze Zahl sein. Das ist nur für den Stammbruch

\frac{1}{1}

der Fall, d.h. es muss

n - 1 = 1

gelten, was

n = 2

nach sich zieht. (Das war zu beweisen.)

Mfg Michael

anonymous

22:26 Uhr, 29.10.2019

Okay vielen Dank für die Hilfe. Ja, sie haben Recht, ich habe mich mit dem Thema zu wenig auseinander gesetzt, da ich die letzten Tage privat sehr viel Stress und Probleme hatte. Die anderen beiden Aufgaben konnte ich jetzt noch lösen, zum Glück ohne Hilfe.
Vielen Dank für die Antwort.

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