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Alle Einheitsvektoren, die einen winkel bilden

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 12. Klassenstufe

Tags: Vektoren im Raum

RoteBeete34 aktiv_icon

14:18 Uhr, 25.02.2018

Hallo liebe Community,
Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:
Bestimmen Sie alle Einheitsvektoren in r³, die
a) sowohl auf

\vec{u} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})

als auch mit

\vec{v} = (\begin{array}{rcl} - 2 \\ 1 \\ 3 \end{array})

senkrecht stehen.
b.) mit den Vektoren

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

\vec{v} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

einen Winkel von 60 Grad bilden.

Bin folgendermaßen vorgegangen: habe das Kreuzprodukt aus u und v bestimmt was den Ergebnisvektor

\vec{e r} = (\begin{array}{rcl} 5 \\ - 5 \\ 5 \end{array})

brachte und habe den normiert

\vec{E} = (\begin{array}{rcl} 0, 57 \\ - 0, 57 \\ 0, 57 \end{array})

nun komme ich nicht so recht weiter bei der nächsten Aufgabe und würde mich für Hilfe sehr freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Tamara123 aktiv_icon

17:47 Uhr, 25.02.2018

Hallo,
den Winkel a zwischen zwei Vektoren

s

und

r

berechnet man folgendermaßen:

a = {cos}^{- 1} (\frac{s \cdot r}{| s | \cdot | r |})

Weil die Vektoren aus deiner Aufgabe

u

und

v

auch Einheitsvektoren sind, ist das Produkt ihrer Beträge mit dem Betrag des gesuchten Einheitsvektors

e

gleich

1,

weshalb wir die obige Formel umschreiben können zu:

a = {cos}^{- 1} (u \cdot e)

Statt

u

können wir hier auch

v

schreiben.

Weil wir wissen, dass a gleich 60° ist, können wir den arccos auf die andere Seite ziehen:
cos(60°)

= u \cdot e

\frac{1}{2} = u \cdot e

Statt

u

können wir auch hier wieder

v

schreiben, weil die Gleichung ja für

u

und für

v

gilt. Das heißt, eigentlich haben wir zwei Gleichungen. Wir suchen die drei Komponenten des Einheitsvektors

e

. Vielleicht ahnst du schon, worauf es hinaus läuft: Wir brauchen ein Gleichungssystem. Die dritte Gleichung für die dritte Variable (wir suchen ja die drei Komponenten

e_{x}, e_{y}, e_{z})

erhalten wir, weil wir wissen, dass der Betrag von

e

gleich 1 ist, durch:

1 =

Wurzel

(e_{x}^{2} + e_{y}^{2} + e_{z}^{2})

Hier nochmal zusammengefasst unsere 3 Gleichungen.

\frac{1}{2} = u_{x} \cdot e_{x} + u_{y} \cdot e_{y} + u_{z} \cdot e_{z}

\frac{1}{2} = v_{x} \cdot e_{x} + v_{y} \cdot e_{y} + v_{z} \cdot e_{z}

1 =

Wurzel

(e_{x}^{2} + e_{y}^{2} + e_{z}^{2})

Die beiden oberen Gleichungen habe gleich ausführlich hingeschrieben. Es handelt sich um ein Skalarprodukt. Jetzt setzen wir erstmal die Werte der Komponenten für

u

und

v

ein. Weil einige Komponenten null sind und die übrigen eins, vereinfachen sich die Gleichungen zu:

\frac{1}{2} = e_{x}

\frac{1}{2} = e_{y}

1 =

Wurzel

(e_{x}^{2} + e_{y}^{2} + e_{z}^{2})

Damit brauchen wir nur noch

e_{z}

zu bestimmen:

1 =

Wurzel

(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + e_{z}^{2})

(Die Wurzel kriegen wir da nicht so leicht weg, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, das heißt, wenn man quadriert, kann die Gleichung falsch werden. Hier haben wir damit aber kein Problem, weil 1 nur rauskommen kann, wenn der Radikand auch gleich 1 ist.)

1 = \frac{1}{2} + e_{z}^{2}

\frac{1}{2} = e_{z}^{2}

e_{z} = \pm \frac{1}{4}

Das ist das Ergebnis. Es gibt zwei mögliche Vektoren, nämlich:

e_{1} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4})

oder

e_{2} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{4})

Anmerkung zur Aufgabe

a :

Grundsätzlich hast du den Vektor richtig bestimmt, aber es gibt noch eine weitere Möglichkeit. Denn würde ein Vektor auch senkrecht auf den beiden Vektoren stehen, wenn er die entgegengesetzte Richtung wie der Vektor, den du bestimmt hast, hätte. Das heißt, du musst nur bei allen Komponenten noch das Vorzeichen umdrehen. Rechnerisch wäre das das Kreuzprodukt aus den beiden Vektoren, wenn du die Reihenfolge umdrehst; also statt uxv eben vxu.

Viele Grüße

RoteBeete34 aktiv_icon

18:14 Uhr, 25.02.2018

Danke für die hilfreiche und ausführliche Antwort! Die hat mir bei der Klausurvorbereitung echt weitergeholfen und ich kann den Ansatz, den man verfolgen muss jetzt nachvollziehen.

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