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Alle Körper mit 3 bzw.4 Elemente
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Körper
 
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Guten Tag, die Aufgabe lautet "Bestimmen Sie alle Körper mit drei bzw. vier Elementen. Nun bin ich nicht ganz sicher wie ich diese Aufgabe angehen soll. Bis jetzt habe ich die Additionstafeln und Multiplikationstafeln mit den Elementen bzw.3) aufgeschrieben. sind das schon alle Körper? oder bin ich auf einem ganz falschen Weg? Liebe Grüsse und vielen Dank im voraus :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, ob du auf dem falschen Weg bist, ist so nicht erkennbar. Es gibt in der Tat bis auf Isomorphie nur einen Körper mit 3 und nur einen mit 4 Elementen. Der mit den 3 Elementen ist vermutlich eher unkomplziert. Aber zeige doch mal die Additions- und die Multiplikationstafel deines 4-elementigen Körpers her. Gruß ermanus |
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Vielen Dank für die rasche Antwort. Ich bin mir nicht sicher, ob ich die frage richtig verstanden habe... Im Anhang meine Notizen.  |
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Hallo, ja, das ist die Additions- und Multiplikationstafel wenn man mit Resten modulo 4 rechnet. Aber für einen Körper muss doch eine Gruppe sein, also die Menge . Bei dir ist aber , d.h. deine Menge ist bzgl. der Multiplikation nicht abgeschlossen, also keine Gruppe und was wäre z.B. das Inverse von 2? Du musst den Körper aus 4 Elementen ganz anders konstruieren (probieren). Nimm als Elemente z.B. , und bastele aus eine multiplikative Gruppe. Über die additive Gruppe mache dir später Gedanken. Gruß ermanus |
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Ich habe jetzt die Multiplikationstafel, wie sie vorgeschlagen haben mit den Elementen erstellt. Jedoch finde ich auch in dieser Gruppe das inverse Element nicht... ich bin glaube ich auf einem falschen Denkansatz... Und wie siehts aus bei den Körpern mit 3 Elementen muss ich die auch nochmals rekonstruieren? |
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Beim Körper mit 3 Elementen kannst du die Reste modulo 3 nehmen. Da eine Primzahl ist, kommt dabei automatisch ein Körper heraus. Was die Multiplikationstafel von anbetrifft, weißt du schon folgendes: Aus der Definition einer Gruppe kannst sofort herauslesen, dass in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau einmal vorkommen muss. Also? |
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Ah vielen Dank, somit ist das inverse Element von oder? damit habe ich den Körper mit 4 Elementen oder? Im Anhang habe ich schon die Additionstafel probiert, stimmt dies so?  |
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Super ! :-) Gruß ermanus |
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Vielen Dank :-) |
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