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Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie, modulo rechnen

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20:27 Uhr, 09.12.2024

Hey,

Ich sitze heute schon länger an einer Aufgabe und komme nicht weiter. Die Aufgabe lautet:

Finden Sie alle Lösungen

(x, y) \in ℤ^{2}

der Gleichung

x^{3} = 6 y^{2} + 2

.

Als erstes fällt auf:

x^{3} - 2 = 6 y^{2}

. Also muss

x^{3} - 2 \equiv 0

mod

6

gelten.
Wenn man sich alle sechs Restklassen anschaut merkt man, nur

2^{3} - 2 = 0

.

Wir wissen nun, dass

x

folgende Form haben muss:

x = 6 k + 2

mit

k \in ℤ

.

Setzt man nun

x

in die Gleichung ein erhält man:

y^{2} = 36 k^{3} + 36 k^{2} + 12 k + 1

.

Schaut man sich es modulo

3

und modulo

9

an sieht man:

y^{2} \equiv 1

mod

3

und

y^{2} \equiv 3 k + 1

mod

9

.

Aus der ersten Gleichung sehe ich

y

muss entweder der Form

y = 3 l + 1

oder

y = 3 l + 2

mit

l \in ℤ

sein.
Aus der zweiten Gleichung folgt die Abhängigkeit von

y

bzw

l

(aber nur modulo

9

) und auch, dass

k \neq 2, k \neq 5, k \neq 8

mod

9

.

Jetzt komme ich nicht weiter. Bin ich irgendwo falsch abgebogen oder bin ich von Grund auf das Problem falsch angegangen?

Ich würde mich über Hilfe freuen :-)
LG Felix

PS: habe gerade beim schreiben bemerkt, man kann auch

y \equiv 1

mod

4

betrachten, ich sehe aber noch nicht, in wiefern mir das hilft

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

21:47 Uhr, 09.12.2024

Ich weiß nicht genau, was du erwartest:

Du wirst rein über Restklassenbetrachtungen nicht beweisen können, dass es keine Lösungen gibt - denn schließlich gibt es ja welche, z.B.

x = 2, y = \pm 1

Messe687 aktiv_icon

23:55 Uhr, 09.12.2024

Ich versuche herauszufinden, welche Form meine Lösungen haben müssen durch modulo rechnen.

Für

x

muss ja

x = 6 k + 2

mit

k \in ℤ

gelten.

Jetzt will ich zu jedem

x

die passenden zwei

y

Werte finden.

Für

k = 0

wäre

x = 2

also

y = 1

und

y = - 1

Aber wie sieht

y

allgemein passend zu

x

bzw

k

aus?

abakus

09:31 Uhr, 10.12.2024

Aus y²=36k³+36k²+12k+1 bekommt man
y² ist kongruent zu 1 modulo 12.
Damit gilt

y \equiv \pm 1 m o d 12

oder

y \equiv \pm 5 m o d 12

HAL9000

09:38 Uhr, 10.12.2024

Ok,

(2, 1)

und

(2, - 1)

sind Lösungen, und ich vermute, dass es keine weiteren Lösungspaare

(x, y)

gibt - zumindest laut einer kleinen Bruteforce-Suche keine weiteren mit

x < 1 0^{9}

.

Modulobetrachtungen, dass

x \equiv a mod b

und

y \equiv c mod d

mit irgendwelchen

a, b, c, d

gelten muss, ggfs. auch mit mehreren Fällen, können vielleicht bei der Lösung helfen, werden aber allein nicht genügen.

Es bedarf also auch Überlegungen in anderer Richtung, wobei ich auch nicht die Lösung habe - ich kann nur etwas brainstormen: Nehmen wir mal das obige

y^{2} = 36 k^{3} + 36 k^{2} + 12 + 1

als Ausgangspunkt, dann muss

y

ungerade sein.

y = 2 m + 1

eingesetzt und umgeformt gelangt man zur Faktorisierung

m (m + 1) = 3 k (3 k^{2} + 3 k + 1) (*)

m

und

m + 1

sind teilerfremd, ebenso

3 k

und

3 k^{2} + 3 k + 1

. Ob das weiterhilft? Ich weiß es nicht.

P.S.: Das sich ergebende

3 ∣ m

oder

3 ∣ (m + 1)

ist gleichbedeutend mit der Erkenntnis

y \equiv \pm 1 mod 6

von abakus.

EDIT: Über

{(6 x)}^{3} = {(36 y)}^{2} + 432

scheint es eine Verbindung zu

en.wikipedia.org/wiki/Mordell_curve

mit

n = - 432

zu geben.

Messe687 aktiv_icon

23:47 Uhr, 10.12.2024

Danke für eure Hilfe. Ich werde es mir morgen nochmal genauer anschauen (insbesondere den Wikipedia Artikel).

Ich bin mal gespannt, wie die Aufgabe nächste Woche im Tutorium gelöst wird :-D)

HJKweseleit aktiv_icon

23:41 Uhr, 13.12.2024

x^{3} = 6 y^{2} + 2

Also muss

x^{3}

gerade sein und damit auch x.

Setze x= 2r. Das gibt

8 r^{3} = 6 y^{2} + 2

und damit

4 r^{3} = 3 y^{2} + 1

.

Die Zahl rechts muss ein Vielfaches von 4 sein, da links ein Faktor 4 steht. Durch Einsetzen von 1,2,3,4,5,... erkennst du, dass das für alle ungeraden y funktioniert (kannst du allgemein beweisen).

Wenn du nun 1, 3, 5, 7, ... für y einsetzt und dann die rechte Seite durch 4 teilst, erhältst du für

r^{3}

die Werte 1, 7, 19, 37, usw. , also

r^{3} - 1 = 0 \cdot 6, 1 \cdot 6, 3 \cdot 6, 6 \cdot 6, . . .

, die Dreieckszahlen mal 6.

r^{3} - 1 = 6 \cdot \frac{n (n - 1)}{2} = 3 \cdot n \cdot (n - 1)

bzw, dann

r^{3} = 3 \cdot n \cdot (n - 1) + 1 = n^{3} - (n^{3} - 3 n^{2} + 3 n - 1) = n^{3} - (n - 1)^{3}

.

Jetzt kommt's:

r^{3} + (n - 1)^{3} = n^{3}

entspricht dem Problem

a^{3} + b^{3} = c^{3}

und ist nicht lösbar - es sei denn, einer der Summanden ist 0.

HAL9000

12:49 Uhr, 14.12.2024

Gute Idee, die man in der Quintessenz zu

x^{3} + {(y - 1)}^{3} = {(y + 1)}^{3}

verkürzen kann.

Messe687 aktiv_icon

18:59 Uhr, 14.12.2024

Schöne Lösung, da wir erst vor kurzem den großen fermatschen Satz hatten, wird das wohl genau so gewollt sein. Vielen Dank :-)

HJKweseleit aktiv_icon

23:37 Uhr, 14.12.2024

Für r=n=1 gibt es ja eine Lösung: x=2 und y=1.

("- es sei denn, einer der Summanden ist 0.")

HJKweseleit aktiv_icon

00:05 Uhr, 16.12.2024

Sorry: Für r=n=1 gibt es ja zwei Lösungen: (2|1) und (2|-1).

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