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Alle Unterräume des R² bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Unterraum

8mileproof aktiv_icon

10:49 Uhr, 24.04.2012

hallo,

ich habe folgende Frage, die ich zu lösen habe : Bestimmen Sie alle Unterräume des

ℝ^{2}

dazu hab ich im inet viele ansätze gefunden. einer war folgender:

zu zeigen ist, dass der Nullraum, die Geraden durch den Ursprung und der ganze

ℝ^{2}

die einzigen Unterräume des

ℝ^{2}

sind.
Nimm an, man hat einen UR , der 2 voneinander unterschiedliche Elemente enthält, die nicht auf einer Ursprungsgeraden liegen. Also weder der nullraum noch von der Form:

U := {u \in ℝ^{2} | u = λ \cdot a, λ \in ℝ},

wobei

a \in ℝ^{2}, a \neq (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

. und zeige dass es bereits der ganze

ℝ^{2}

ist.
Dazu schnappt man sich ein bel. element aus dem

ℝ^{2},

stellst ein Lineares Gleichungssystem auf und löst es.

soweit so klar. die vorgehensweise ist mir klar. aber wie schreibe ich das formal auf?

ich hab mich mal gewagt und folgendes aufs Blatt geschrieben:

sei

W \subseteq V

und

W \leq V (W

ist Unterraum von

V)

. Seien

a, b \in W,

wobei

a \neq b

und

a, b \neq {0}

. Außerdem seien

a, b \notin U := {u \in ℝ^{2} | u = λ \cdot a, λ \in ℝ}

.

Jetzt schnapp ich mir ein bel. Elt. aus

ℝ^{2}

. Also

z . B

c \in ℝ^{2}

und jetzt ? Ein LGS aufstellen , lösen . Klar , aber was muss da jetzt rauskommen? ich verstehe den letzten Teil der "Anleitung" nicht ganz.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

11:35 Uhr, 24.04.2012

Das Gleichungssystem

x \cdot (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} e \\ f \end{matrix})

ist lösbar, wenn

a d - b c \neq 0

ist, und zwar kannst du

x

und

y

sogar explizit angeben:

x = \frac{e d - f c}{a d - b c}, y = \frac{a f - b e}{a d - b c}

Wenn dagegen

a d - b c = 0

ist, kann man zeigen, dass einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist.

8mileproof aktiv_icon

12:16 Uhr, 24.04.2012

verstanden bis auf

x

und

y

. wie kommt man denn auf

x = . .

. und

y = . .

.
die brüche hab ich nicht ganz nachvollziehen können.

hagman aktiv_icon

12:35 Uhr, 24.04.2012

Entweder einfach einsetzen und feststellen, dass es passt, oder das entsprechende Gleichungssystem explizit (wenn auch mit Variablen als Koeffizienten) auflösen

8mileproof aktiv_icon

19:02 Uhr, 25.04.2012

also ich habe jetzt folgendes auf meinem zettel stehen (auf den langen text oben habe ich verzichtet. ich wollte mich nur auf die formale schreibweise beziehen):

sei

W \subseteq V

und

W \leq V

. Seien

a, b \in W,

wobei

a \neq b

und

a, b \neq {0}

. Außerdem seien

a, b \notin U := {u \in ℝ^{2} | u = λ \cdot a, λ \in ℝ}

seien

a = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})

und

c = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix})

ich stelle das gleichungssystem auf:

x \cdot (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix})

ist lösbar wenn

a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq 0

und jetzt? hab ich jetzt formal und

v . a

. mathematisch gesehen, alles richtig aufgeschrieben?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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