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Allgemeine Punktsymmetrie, Achsensymetrie

Schüler Kolleg,

Tags: Achse berechnen, achsensymetrie, Punkt berechnen, Punktsymetrie

Ajora aktiv_icon

16:01 Uhr, 10.01.2015

Hallo,
ich bin neu hier und habe ein Problem mit der Allgemeinen Symetrie bzw.der Berechnung des/der Punktes/Achse der allgemeinen Punktsymetrie/Achsensymetrie.
Punktsymetrie zum Ursprung und Achsensymetrie zur

Y

Achse ist klar und einleuchtend.
Mein Lehrer hat uns diesen Lösungsweg ausgeteilt aber ich finde nirgendwo im Netz eine allgemeine Formel die diesen Weg erklären würde.
Nullstellen dividiert durch die Anzahl der Nullstellen?

f (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + x^{2} + x - \frac{2}{3} = - \frac{2}{3} (x + 1) (x - 1) (x - 2)

f (x)

ist punktsymmetrisch zu Punkt:

x_{p} = \frac{- 1 + \frac{1}{2} + 2}{3} = \frac{1}{2}, y_{p} = f (\frac{1}{2}) = 0,

also

P (\frac{1}{2} | 0)

bzw.

f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} - 3 x = \frac{1}{2} x (x + 1) (x + 3) (x - 2)

f (x)

ist achsensymetrisch zur Achse:

x_{A} = \frac{0 - 1 - 3 + 2}{4} = - \frac{1}{2}

Vielen Dank für eure Mithilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

rundblick aktiv_icon

17:24 Uhr, 10.01.2015

.
zunächst zu deiner kubischen Parabel:

\to

du kannst die Punktsymmetrie allgemein nachweisen
so:

J e d e

kubische Parabel ist (immer!) punktsymmetrisch

\to

Symmetriezentrum ist ihr Wendepunkt

W

(versuche selbst den Beweis)

bei deinem Beispiel
(Nullstelle der zweiten Ableitung f°(x)

= - 4 x + 2

berechnen,usw..))
hat

W

die Koordinaten

W (\frac{1}{2}; 0)

Ajora aktiv_icon

17:53 Uhr, 10.01.2015

Danke

Anders gesagt

Jede ganzrationale Funktion

f

von Grad 3 ist punktsymmetrisch zum Punkt

P (- \frac{b}{3 a} | f (- \frac{b}{3 a}))

Aber anhand welcher Formel lässt sich der erste Lösungsweg erklären?

rundblick aktiv_icon

18:23 Uhr, 10.01.2015

f (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + x^{2} + x - \frac{2}{3}

"
Aber anhand welcher Formel lässt sich der erste Lösungsweg erklären? "

\to

w e l c h e r

Lösungsweg ??

die oben notierte Faktorzerlegung mit

\to f (x) = - \frac{2}{3} (x + 1) (x - 1) (x - 2)

ist falsch

.

Ajora aktiv_icon

18:59 Uhr, 10.01.2015

Sorry Tippfehler muss natürlich heissen:

- \frac{2}{3} (x + 1) (x - \frac{1}{2}) (x - 2)

.

Ich meine den Weg um den Punkt

P

bzw. zunächst um

x_{P}

zu ermitteln bzw. in der zweiten Funktion

x_{A}

.

Da gibt es doch augenscheinlich eine Parallele, ergo muss es doch eine allgemeine Formel für geben.

Sorry für die dumme Frage aber bin halt kein Mathe Pro, deshalb wende ich mich ja an euch/dich.

Ein weiteres Beispiel

f (x) = - 2 x^{4} + \frac{17}{2} x^{2} - 2 = - 2 (x + 2) (x - 2) (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{2})

Ist achsensymetrisch zur

Y

Achse da nur gerade exponenten.

f (x) = f (- x)

Oder aber

x_{A} = \frac{- 2 + 2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{4} = 0

und genau das versuche ich zu verstehen.

Das einzige was ich sehe ist das die Summe der Nullstellen durch deren Anzahl geteilt werden??

rundblick aktiv_icon

19:54 Uhr, 10.01.2015

.
zur kubischen Parabel:

du solltest dir überlegen, wann diese lustige Methode verwendet werden kann..

versuch doch mal damit die sicher vorhandene Punktsymmetrie zu ermitteln ,
zB
wenn

f (x) = x^{3} - x - 6

oder

f (x) = x^{3} - 4 x^{2}

usw..

und zu den Kurven vierten Grades:

da ist nun normalerweise überhaupt

k e i n e

AxialSymmetrie vorhanden
also kannst du dann mit der Methode auch keine Symmetrieachse finden ..
zB:

f (x) = (x + 2) \cdot (x + 1) \cdot x \cdot (x - 4)

hat keine Symmetriegerade

die paar Fälle mit vorhandener Achse sind - wie du schon notiert hast

\to

wenn nur gerade Exponenten vorkommen ..

\to

wenn es drei Extrema bei

x_{1} < x_{2} < x_{3}

gibt und

x_{2}

in der Mitte von

x_{1}

und

x_{3}

liegt
und

f (x_{1}) = f (x_{3})

ist ..

\to

wenn es möglich ist , die Kurve durch eine Parallelverschiebung in Richtung
x-Achse in eine Kurve abzubilden, deren Gleichung nur lauter gerade Exponenten hat

\to

wenn ..

.

und dazu:
"Das einzige was ich sehe ist, dass die Summe der Nullstellen
durch deren Anzahl geteilt werden?? "

na ausserdem könntest du sehen, dass paarweise je zwei Nullstellen nur
verschiedene Vorzeichen haben..? (und damit symmetrisch zur 0 liegen)
also wird die Summe den Wert 0 ergeben ?

.

Ajora aktiv_icon

20:46 Uhr, 10.01.2015

Ok ich geb mich geschlagen, nun weiß ich auf jeden Fall dass diese Methode nicht immer funktioniert.

f (x) = x^{3} - x - 6

sollte Punktsymetrisch zu

(0; 6)

aber mit meiner lustigen Methode errechne ich

(2; 0)

jetzt bleibt nur die Frage, weil ich gerade mitten in der Klausuvorbereitung stecke, wann ich diese verwenden kann und wann nicht.

Ajora aktiv_icon

20:49 Uhr, 10.01.2015

Und Danke für dein Engagement...Hans Rundblick

rundblick aktiv_icon

21:03 Uhr, 10.01.2015

f (x) = x^{3}

−x−6 sollte Punktsymetrisch zu

(0; 6)

"

geht es etwas sorgfältiger?: denn da hast du dich bei einem Vorzeichen vertippt? oder?

und dazu:
".. wann ich diese verwenden kann und wann nicht. "

bei

k u b i s c h e n

Parabeln verwendbar, wenn es drei Nullstellen hat ..
(kannst du leicht allgemein zeigen

. .)

und notfalls:

\to

absichern mit der zweiten Ableitung

\to

für die Wendestelle ..

ok?

Ajora aktiv_icon

21:09 Uhr, 10.01.2015

Punktsymetrisch zu

(0; - 6)

.

Super!!!

Vielen Dank!!!

Einen schönen Abend noch...und ich weiß Satzzeichen sind keine Rudeltiere.

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