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Charakteristik, Beweis verstehen

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Charakteristik, Ring

-Lizzy- aktiv_icon

15:02 Uhr, 15.12.2015

Hallo,
ich hätte ein paar Fragen zur Charakteristik

Also soweit ich es verstanden habe:
Wenn ich einen Ring

R

mit Einselement 1 habe, dann gibt es die Charakteristik.
Die ist entweder char(R)

:= 0,

wenn

n \cdot 1 \neq 0,

oder char(R)

:= min {n \in ℕ \ {0} : n \cdot 1 = 0}

Ich habe jetzt zwei Beweise dazu, bei denen mir etwas unklar ist.
Behauptung: "Ist

K

ein Körper, so ist char(K) entweder Null oder eine Primzahl"

Beweis 1
Es sei Angenommen, char(K)=

m = k \cdot l \neq 0

mit

1 < k, l < m

Aus

0 = m \cdot 1 = (k \cdot l) \cdot 1 = (k \cdot l) (l \cdot 1)

folgt wegen der Nullteilerfreiheit

k \cdot 1 = 0

oder

l \cdot 1 = 0

im Widerspruch zur Minimaltität von

m □

Warum setze ich

1 < k

und

l < m

?
Und warum ist (zweite Zeile)

1 = l \cdot 1

?

Beweis 2
Es sei char(K)

= n \cdot M

für

n, m \in ℕ, n, m \geq 2

.
Dann gilt

0 = (n \cdot m) \cdot 1 = (n \cdot 1) (m \cdot 1);

K

ein Körper ist, folgt, dass dann

n \cdot 1 = 0

oder

m \cdot 1 = 0

was ein Widerspruch zur Definition der Charakteristik ist.

□

Der Widerspruch liegt hier darin, dass ich hier

n \cdot 1 = 0

oder

m \cdot 1 = 0

habe, aber nach Definition

n \cdot 1 \neq 0

gelten muss, oder?

Aber bei beiden Beweisen verstehe ich nicht, wo denn gezeigt wird, dass, wenn es ungleich 0 ist, eine Primzahl sein muss? Das steht doch da gar nicht, oder schon?

Vielen Dank für jede Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

15:08 Uhr, 15.12.2015

"Warum setze ich und ?"

Das ist ein indirekter Beweis. Du nimmst an, dass

m

keine Primzahl ist und leitest daraus einen Widerspruch ab. Wenn

m

keine Primzahl ist, dann gibt's solche

k, l

.

"Und warum ist (zweite Zeile)

1 = l \cdot 1 ?

"

Das steht nirgendwo.
Es steht nur

(k \cdot l) \cdot 1 = (k \cdot 1) \cdot (l \cdot 1)

, was ziemlich offensichtlich ist, denn

1

ist ja das neutrale Element. Formal folgt das aus Körperaxiomen.

DrBoogie aktiv_icon

15:08 Uhr, 15.12.2015

"Aber bei beiden Beweisen verstehe ich nicht, wo denn gezeigt wird, dass, wenn es ungleich 0 ist, eine Primzahl sein muss? "

Habe ich schon gesagt.

Übrigens, der 2. Beweis ist absolut identisch mit dem 1. Keine Ahnung, wo Du da einen Unterschied siehst.

-Lizzy- aktiv_icon

15:18 Uhr, 15.12.2015

Beweis 1:

Achso, okay das macht Sinn.
Also die erste Zeile sagt aus, dass wenn

m

keine Primzahl ist, char(k) nie Null sein kann.
Zweite Zeile:
Achso, da habe ich mich wohl verschrieben, dann macht das natürlich Sinn. Es muss also heißen:

0 = m \cdot 1 = (k \cdot l) \cdot 1 = (k \cdot 1) (l \cdot 1),

oder? Also Distributivgesetz

DrBoogie aktiv_icon

15:27 Uhr, 15.12.2015

"Also die erste Zeile sagt aus, dass wenn keine Primzahl ist, char(k) nie Null sein kann."

Nein, sie sagt, dass wenn

m

keine Primzahl ist,

K

nicht mehr nullteilerfrei ist, also kein Körper.

"Also Distributivgesetz"

Nein, das ist Assoziativgesetz.

-Lizzy- aktiv_icon

15:44 Uhr, 15.12.2015

Okay, danke

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