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A^n bestimmen mit Satz von Cayley-Hamilton

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

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19:24 Uhr, 20.05.2019

Hi, habe folgende Aufgabe zu lösen:
Sei A ∈ K2×2 nicht invertierbar. Nutzen Sie den Satz von Cayley–Hamilton, um

A^{n}

zu bestimmen.

Meine Lösung :

laut Satz von Cayley-Hamilton (jede quadratische Matrix ist nullstelle ihres charakteristischen Polynoms),folgt :

p (A) = 0

\to

das char. Polynom besitzt die allgemeine Form

: p (Λ) = Λ^{n} - a_{1} \cdot Λ^{n - 1} + a_{2} \cdot Λ^{n - 2} - ... + {(- 1)}^{n} \cdot a_{n}

\to p (A) = A^{n} - a_{1} \cdot A^{n - 1} + a_{2} \cdot A^{n - 2} - ... + {(- 1)}^{n} \cdot a_{n} = 0

\to A^{n} = a_{1} \cdot A^{n - 1} - a_{2} \cdot A^{n - 2} + ... - {(- 1)}^{n} \cdot a_{n}

speziell für eine

2 x 2

Matrix gilt :

p (A) = A^{2} -

spur(A)

\cdot A + det (A) = 0

\to A^{2} =

spur(A)

\cdot A,

da die Matrix nicht invertierbar ist und daraus folgt

det (A) = 0

.

irgendwas sagt mir dass ich bei der Aufgabe

A^{n}

spezieller berechnen kann , oder zumindest anders an die Aufgabe rangehen muss , wäre nett wenn jemand mal drüber gucken kann .

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

19:31 Uhr, 20.05.2019

Hallo,

aus

A^{2} = spur (A) \cdot A

folgt ja schonmal

A^{3} = A^{2} A = spur (A) \cdot A^{2} = spur (A)^{2} \cdot A

.

Reicht das als Einweisung?

Mfg Michael

Clmxz aktiv_icon

19:39 Uhr, 20.05.2019

haha,super
manchmal möchte ich echt gerne mein Abitur zurückgeben :-)

Und ja das reicht vollkommen aus ,vielen Dank.

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