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Analysis Abstand Punkt/ Gerade und Punk/ Hyperbel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Abstand, Analysis, Gerade, Hyperbel

LindaFT aktiv_icon

21:05 Uhr, 12.05.2010

Hallöschen,

brauche dringend Hilfe fürs Abi, soll ein Verfahren zur Abstandsberechnung in der Analysis aufzeigen, von einem Punkt zu einer Geraden und von einem Punkt zu einer Hyperbel....

Hab auch schon ettliche Schmierzettel damit vollgekriggelt, komm aber einfach net auf eine logische/verständliche Lösung und hab denke ich mal einfach nen Blackout, kann einfach kein Schema dazu aufstellen.

Wäre super dringend und wichtig, bitte helft mir, wenn möglich gebt mir ein paar Beispiele (mit Lösungen bitte) damit ich das verinnerlichen kann!!

Vielen Dank schonmal, ich hoffe, dass ihr mich schnell helfen könnt!!

Lg eine verzweifelte Abiturientin

: - (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

21:42 Uhr, 12.05.2010

Spontanidee meinerseits:

Ableitung der Funktion bilden.

Geradengleichung der Orthogonalen für jeden beliebigen Punkt auf dem Graphen erstellen

dazu brauchst Du:

Orthogonale hat als Steigung den negativen Kehrwert der Ableitung des Funktionsgraphen.

Punkt-Steigungsformel

----

dann den Punkt hernehmen und prüfen für welche Stellen auf dem Graphen dessen Ortogonalen den Punkt "besuchen".

----

Jetzt statt Schmierzettel zu verkritzeln dieses Rezept schrittweise aufarbeiten.

Poste Dein Zwischenergebnis, wenn Du eine Rückfrage stellen möchtest.

LindaFT aktiv_icon

21:48 Uhr, 12.05.2010

Hast du eine Beispiel Funktion bei der Ich deine Schritte anwenden könnte??

Vielen dank schonmal, das hat definitiv etwas Licht in das dunkelste Dunkel gebracht^^

Bilde ich die Orthogonale auf den Graphen, oder auf die Ableitung??

Könnte ich als Beispiel (für die Sache mit

P

g)

die Funktion

f (x) = 2 x

nehmen und als Punkt, zu dessen der Abstand bestimmt werden soll P(1|1)??

Lg

pleindespoir aktiv_icon

21:56 Uhr, 12.05.2010

Es braucht kein konkretes Beispiel, weil Du ja die Methode entwickeln sollst.

Du hast ja zwei Beispiele vorgegeben: einmal ist der Graph eine Gerade und einmal eine Hyperbel.

Zunächst exerziere das mal mit der Geraden, weil die Hyperbel etwas "extra" an Überlegung braucht.

Die Geradenfunktion heisst

f (x) = m x + b

Und den Punkt nennen wir

P (x_{p} ∣ y_{p})

LindaFT aktiv_icon

22:07 Uhr, 12.05.2010

Ok also:

f´(x)= mx

Und die Orthogonale würde bei mir so aussehen f´(xp)= - 1/mx (

/

soll ein Bruchstrich sein)
??? Wenistens annähernt richtig??

Also ich versuchs mal an dem Beispiel: Abstand vom Punkt

P (1 | 1)

zur Geraden

g

mit

f (x) = 2 x!

Als Ableitung hab ich f´(x)= 2

Orthogonale lautet hoffentlich:

f (x) = -

1/mx

+ b

dann setzte ich für - 1/mx die

- \frac{1}{2}

ein--->

f (x) = - 0.5 x + b

Für

b

würde ich jetzt die y-Koordinate, also 1 einsetzten....aber irgendwie...mhhhh

pleindespoir aktiv_icon

23:02 Uhr, 12.05.2010

Bildung einer Ableitung
Lektion 1b:

f (x) = m \cdot x + b

f ʹ (x) = m

LindaFT aktiv_icon

23:25 Uhr, 12.05.2010

Also ich fasse mal alles was ich mitlerweile hoffe verstanden zu haben zusammen:

Um den Abstand eines Punktes

P

von einer Geraden

g

mithilfe der Analysis zu bestimmen, nutze ich die 1. Ableitung der Funktion von

g

.

Da ich somit auch die Steigung nutzen kann, wende ich von dieser, den negativen Kehrwert der Steigung der Ableitung an, um eine zu

g

orthogonale Gerade zu "erstellen".
Dazu bediene ich mich der Punkt-Steigungsformel.

Mit der Funktion der Orthogonalen

y =

mx+

b,

welche sich durch die Punkt Steigungformel so verändert,

y = m \cdot (x - p 1) + p 2,

kann ich die Werte, durch einsetzten der Punktkoordinaten von

P,

der

X

Koordinate des Schnittpunktes berechnen und durch rückeinsetztung der

X

Koordinate in die Orthogonalengleichung, erhalte ich die Y-Koordinate des Schnittpunktes (Dadurch das ich die Geradengleichung= der Ortogonalengleichung gesetzt habe).

Mit dem gewonnenen Schniittpunkt, der beiden Geraden, kann ich nun die Differenz zwischen dem Punkt

P

und dem Schnittpunkt errechnen, indem ich SP

- P

rechne, mit dem daraus resultierenden Werten kann ich nun den Betrag der Differenz mithilfe des Satz des Pythagoras errechnen und erhalte somit den Wert des Abstandes.

Is das so richtig???
Oder war ich zu voreilig??

pleindespoir aktiv_icon

23:30 Uhr, 12.05.2010

Hört sich schonmal recht vernünftig an.

Werde jetzt aber müdigkeitsbedingt in die Federn sinken.

Bis morgen Abend hast du bestimmt mathematisch schön formuliert und einige Beispiele getestet, ob Deine Überlegung auch hinhaut.

Dann können wir mal die Hyperbel anschauen ...

N8

Bobbey aktiv_icon

23:41 Uhr, 12.05.2010

moment mal...
sollst du dir selber ein verfahren ausdenken?
oder sollst du beschreiben wie man den abstand üblicherweise berechnet?

LindaFT aktiv_icon

23:59 Uhr, 12.05.2010

Ich soll DIE Verfahren der Analysis und der lin. Algebra aufzeigen....

Bobbey aktiv_icon

00:07 Uhr, 13.05.2010

naja, wie gesagt in der analysis mach ichs immer mit abstandsfunktionen. da man mit abstand von punkt zu gerade ja meisst die länge des abschnitts der orthogonalen durch den punkt zwischen punkt und gerade meint (den minimalen abstand) such ich mir halt davon dann das minimum... in der vektorgeometrie würd ichs so wie oben beschrieben machen.

edit:

d = \sqrt{{(x - p)}^{2} + {(f (x) - q)}^{2}}

sorry, bin den formeleditor hier gewöhnt. "sqrt" steht für square root

\Leftrightarrow

quadratwurzel

LindaFT aktiv_icon

00:13 Uhr, 13.05.2010

Wie komme ich denn auf die Abstandsfunktion?? Gibt es da eine Regel und könntest du das mit einem Beispiel machen??

(- \to

wenns geht das Beispiel mit Zahlen, und bitte wenn möglich so einfach wie es nur geht^^)

Bobbey aktiv_icon

00:19 Uhr, 13.05.2010

ähm. okay ein beispiel:

f (x) = 5 x + 2

P (0 | 4)

d = \sqrt{{(x - 0)}^{2} + {((5 x + 2) - 4)}^{2}}

gibt den abstand von

P

zum Punkt

(x | f (x))

an. also den zu einem beliebigen punkt auf der geraden. (mithilfe des Satzes von Phytagoras)

edit: wenn du jetzt den punkt auf der geraden mit dem minimalen abstand zu

P

willst, setzt du die ableitung der abstandsfunktion gleich null, dann hast du die x-Koordinate.

in dem fall

x = \frac{5}{13}

dann musst du nurnoch einsetzen und du hast den abstand. der vorteil ist halt dass du damit abstände zu beliebigen punkten auf

f (x)

berechnen kannst...

LindaFT aktiv_icon

00:29 Uhr, 13.05.2010

Ich verstehe das mit dem Punkt

(x | f (x))

nicht!!???

Bobbey aktiv_icon

00:39 Uhr, 13.05.2010

naja alle punkte auf der funkion

f (x)

haben die koordinaten

(x | f (x))

einen x-wert und den zugehörigen funktionswert.

LindaFT aktiv_icon

00:41 Uhr, 13.05.2010

Ok ich glaube ich höre meine gerosteten Zahlenräder im Kopf rumoren...hast du noch nen Beispiel ?? Bitte

\land

Bobbey aktiv_icon

00:51 Uhr, 13.05.2010

wie würdest du den abstand von 2 punkten berechnen?

zb.:

A (2 | - 1)

und

B (6 | 2)

schreibs dir ausführlich auf, dann ersetze den punkt

B

durch einen beliebigen punkt auf

f (x) . .

.

oder noch besser, schreibs hier rein ;-)

LindaFT aktiv_icon

01:04 Uhr, 13.05.2010

Also von den gegebenen Punkten würde mein Abstand

d

so aussehen:

d = {\sqrt{6 - 2}}^{2} + (2 - {(- 1)}^{2}

Und wenn ich

B

durch beliebige Punkte ersetze, würde es sein:

d = {\sqrt{x - 2}}^{2} + {(f (x) - (- 1))}^{2}

Aber wie komm ich denn auf den

min

. Abstand??

Oder besser gefragt, wie leite ich denn so was ab??

P . s

. Die Wurzel soll natürlich über den kompletten Term gehen oder wie das heiß^^)

Bobbey aktiv_icon

01:11 Uhr, 13.05.2010

naja du hast eine funktion, die zufällig den abstand beschreibt. wie du das minimum einer funktion findest weisst du ja schon, hoffe ich? ;-)

wenn dus hast, nochmal zum verständnis: der

x

wert ist die x-koordinate des punktes auf der geraden, die A am nächsten ist.

f (x)

oder

y

ist NICHT die

y

koordinate, sondern selbstverständlich der minimale abstand.

edit: achso, es geht ums ableiten.

f (x) = \sqrt{u (x)}

f' (x) = \frac{u' (x)}{2 \cdot \sqrt{u (x)}}

LindaFT aktiv_icon

01:14 Uhr, 13.05.2010

Deine Hoffnung muss ich leider enttäuschen

: - (

Bobbey aktiv_icon

01:18 Uhr, 13.05.2010

ableitung nullsetzen. wie du ableitest hab ich reineditiert.

LindaFT aktiv_icon

01:26 Uhr, 13.05.2010

Also ich versteh das einfach nicht , ich fasse das mal so zusammen, korrigiere mich wenn ich falsch liege ;-)

Ich habe eine Funktion mit ...keine Ahnung

... . f (x) = 3 x^{2} + 3

Und suche den Abstand zu dem Punkt

P (1 | 5)

jetzt muss ich eine Abstandsformel

d

aufstellen, welche ich dann wiederum ableiten muss, in diese Ableitung von

d

muss ich dann den Punkt

P

einsetzen, und zwar für

f (x) = 5

und für

x = 1

und dann soll ich die nochmal

= 0

setzten???!!

Wenn ich das gemacht habe, rechne ich das was da raus kommt aus und fertig ich habe den Abstand????!!!!

Bobbey aktiv_icon

01:29 Uhr, 13.05.2010

nein, du setzt in die ableitung nichts ein. du setzt sie gleich null und löst dann nach

x

auf um das minimum der funktion zu finden. wenn du es hast berechnest du den funktionswert des minimums und hast den

min

. abstand.

LindaFT aktiv_icon

01:40 Uhr, 13.05.2010

Ich muss ja mal echt sagen, dass du krasse Geduld hast ;-)

Also anhand meines Beispiels, hab ich die Abstandsfunktion

d^{2} = {(5 - 3 x^{2} + 3)}^{2} + {(1 - f (x))}^{2}

Jetzt häng ich übrigens immernoch an der Ableitung und ich hab das Gefühl, dass mein

d^{2}

falsch ist, aber ich mach mal weiter....

wenn ich jetzt die Ableitung hätte, muss ich diese

= 0

setzen....dann nach

x

oder so uflösen und ich hab meinen Abstand!??

Bobbey aktiv_icon

02:08 Uhr, 13.05.2010

anhand deines beispiels:

d = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {((3 x^{2} + 3) - 5)}^{2}}

minimum bei

x = 0,824

bei einem abstand von

0,18

hab ich jetzt mit dem taschenrechner gemacht, will ins bett.

LindaFT aktiv_icon

15:52 Uhr, 14.05.2010

Funktioniert das mit der Abstandfunktion auch bei eiiner Hyperbel??

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