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Analytische Berechnung Eckpunkte konvexes Viereck

Universität / Fachhochschule

Tags: Analytische Geometrie, konvex Viereck

Thomas74 aktiv_icon

12:41 Uhr, 17.04.2025

Hallo.
Ich habe ein geometrisches Problem, an dessen analytischer Lösung ich bislang leider gescheitert bin.
Es geht um ein konvexes Viereck, dessen Eckpunkte

A, B, C, D

bestimmt werden sollen.
Gegeben sind die Streckenlängen

a, b, c, d

sowie der Neigungswinkel

α,

siehe dazu auch die angefügte Skizze.

Da Lage und Drehsinn des Vierecks frei gewählt werden können, habe ich mir gedanklich den Punkt

A

in den Koordinatenursprung

(x = y = 0)

gelegt und das Viereck so gedreht, dass die Strecke a entlang der Abszisse verläuft.
Da die Streckenlänge a bekannt ist, ist somit auch der Punkt

B

bereits ermittelt.

Gesucht sind also noch die Punkte

C & D,

die beide auf einer Geraden, die vom Winkel

α

abhängt, liegen.

Könnt Ihr mir bei meinem Problem helfen?

Vielen Dank schonmal.

Viele Grüße,

Thomas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

calc007

14:05 Uhr, 17.04.2025

Hallo
Wie du es beschreibst, sind ja bekannt:

x_{A} = 0; y_{A} = 0; x_{B} = a; y_{B} = 0

Dann gilt ja:

b = \sqrt{{(x_{C} - x_{B})}^{2} + {(y_{C} - y_{B})}^{2}}

c = \sqrt{{(x_{D} - x_{C})}^{2} + {(y_{D} - y_{C})}^{2}}

d = \sqrt{{(x_{A} - x_{D})}^{2} + {(y_{A} - y_{D})}^{2}} = \sqrt{x_{D}^{2} + y_{D}^{2}}

tan (α) = \frac{y_{D} - y_{C}}{x_{D} - x_{C}}

Siehe da: vier Gleichungen für vier Unbekannte,

[x_{C}; y_{C}; x_{D}; y_{D}]

Herz was brauchst du mehr....

:-)

PS:
Falls nötig: Ich muss bekennen, dass ich nicht weiß, was "KONVEX" in diesem Zusammenhang bedeuten soll.

Roman-22

14:59 Uhr, 17.04.2025

>

Ich muss bekennen, dass ich nicht weiß, was "KONVEX" in diesem Zusammenhang bedeuten soll.

Weil es ja auch eine nicht-konvexe Lösung geben kann. Und die stellt sich mit den geschätzten Angabewerten des Fragestellers

(a = 75, b = 45, c = 125, d = 85

und alpha=20°) gerade mit deinem Ansatz ein (siehe in nachstehender Zeichnung die rote Figur).
Man muss bei deinem Ansatz bei

tan α

das Vorzeichen ändern, um zur gewünschten Lösung (nachstehend in blau) zu gelangen.
Es ist aber keineswegs so, dass sich die Konvexität immer mit

\frac{y_{D} - y_{C}}{x_{D} - x_{C}} = - tan α

einstellt. An sich müsste man deine letzte Gleichung so formulieren, dass das Quadrat des Anstiegs

{tan}^{2} α

sein soll. Damit sind beide Lösungen möglich und man müsste die Konvexität durch eine weitere Nebenbedingung erzwingen.
Denn auch wenn man sich auf ein Vorzeichen bei

tan α

einigt, sind damit immer noch zweo Lösungen möglich - zB die blaue und die and der x-Achse gespiegelte rote (siehe Bild im Anhang).

Abgesehen davon ist fraglich, wie ernst die Verschlagwortung mit "Analytischer Geometrie" gemeint ist. Soll wirklich mit einzelnen Koordinaten gerechnet werden, oder ist eine Lösung angepeilt, die ausschließlich Operationen an (Orts-) Vektoren benutzt?
Man könnte die Gerade

C D

allgemein ansetzen (Anstieg bis auf das Vorzeichen gegeben, Ordinatenabschnitt variabel). Dann auf der Geraden einen Punkt

C

wählen (eine weitere Variable). Dann den Punkt

D

auf

C D

im Abstand

c

bestimmen (zwei Möglichkeiten). Man hat nun zwei Unbekannte und könnte die Forderungen

\bar{A D} = d

und

\bar{B C} = b

zur Lösung heran ziehen. Einfacher wird das aber vermutlich auch nicht.

Ich überlege die ganze Zeit, ob die Aufgabe auch rein konstruktiv lösbar ist, komme aber auf keinen grünen Zweig.
Natürlich könnte man ABCD als Gelenkviereck sehen mit der Basis

A B

und der Koppel

C D

. Für jede Ausgangslage von

C

(etwa abhängig von einem Hilfswinkel) lässt sich dann

D

im Schnitt zweier Kreise (Zweideutig) ermitteln, aber wie man nun konstruktiv den Winkel

α

berücksichtigt, erschießt sich mir noch nicht.

HAL9000

17:41 Uhr, 17.04.2025

Zunächst "koordinatenfrei" könnte man so agieren: Sei

S

der Schnittpunkt der Geradden

A B

und

D C

sowie

u = ∣ B S ∣

und

v = ∣ C S ∣

. Dann liefert der Kosinussatz folgende zwei Bestimmungsgleichungen für

u, v

b^{2} = u^{2} + v^{2} - 2 u v \cos (α) (1)

d^{2} = {(u + a)}^{2} + {(v + c)}^{2} - 2 (u + a) (v + c) \cos (α) (2)

In der Differenz beider Gleichungen

d^{2} - b^{2} = a (2 u + a) + c (2 v + c) - 2 (a v + c u + a c) \cos (α)

steht rechts eine Linearkombination der beiden unbekannten Größen

u, v

, lässt sich also leicht nach einer der beiden umstellen, in (1) einsetzen, und man hat nur noch eine schnöde quadratische Gleichung zu lösen.

Das nur als kurze Machbarkeitsstudie, dass man an das obige nichtlineare Gleichungssystem mit vier Variablen nicht gleich mit dem Holzhammer "Näherungsverfahren" rangehen muss. ;-)

Damit sollte nebenbei auch klar sein, dass eine Konstruktion möglich ist - mag die auch noch so hässlich aussehen, wenn man sie aus der Lösungsformel der quadratischen Gleichung zurechtbastelt.

Thomas74 aktiv_icon

08:34 Uhr, 18.04.2025

Vielen lieben Dank für Eure Antworten und die Mühe, die Ihr Euch gemacht habt.
Das ist sehr freundlich.

@calc007:
Diese vier Gleichungen hatte ich tatsächlich auch schon aufgstellt, allerdings weiß ich noch nicht, wie ich sie zur konkreten Lösung nutzen kann.
Ich nehme an, dass ich sie in geeigneter Form an einen Solver für Gleichungssysteme übergeben soll, richtig?
Mein Ziel ist es, diese Berechnungen in Matlab durchzuführen, weshalb das prinzipiell möglich wäre.
Allerdings fehlt mir noch ein Baustein auf dem Weg dorthin, ich weiß nämlich nicht, wie man diese Gleichungen in die entsprechende Matrix/Vektorform überführt.
Vielleicht kannst Du mich hier noch weiter unterstützen.
Oder habe ich Dich falsch verstanden?

@Roman-22
Vielen Dank für Deinen Beitrag, den ich allerdings nicht richtig verstehe.
Mit konvex ist gemeint, dass die Diagonalen des Vierecks sich innerhalb des Vierecks schneiden.
Was eine "konstrukltive Lösung" ist, verstehe ich nicht.
Vielleicht kannst Du mir dazu noch einen Satz sagen.

@HAL9000 (cooler Name!):
Das klingt vielversprechend, vielen Dank!
Allerdings ist auch Dein Hinweis für mich nicht direkt nutzbar.
Die fehlenden Schritte kann ich nicht allein gehen.
Könntest Du mir idealerweise aufzeigen, wie man zu den konkreten Gleichungen für die Punkte kommt?

Vielen Dank nochmal und schöne Ostern.

Roman-22

09:23 Uhr, 18.04.2025

Zur Erklärung, was ich unter einer "konstruktiven Lösung" verstehe:
Die Aufgabe ist quadratisch, die Lösungsvierecke sollten sich also auch zeichnerisch, also durch Konstruktion mit Bleistift, Zirkel und Lineal, ermitteln lassen.

Ansonsten hat mein Beitrag nur den Lösungsvorschlag von calc007 aufgegriffen und wollte verdeutlichen, dass es mit seinem Ansatz dennoch immer zwei Lösungen gibt, von denen mit deinen Angabewerten eine eben nicht konvex ist und außerdem. dass man

α

auch anders orientieren kann und somit zwei weitere Lösungen (die zu den ersten spiegelbildlich zur x-Achse liegen) dazu kommen.
In allen vier Fällen hat das Viereck die geforderten Seitenlängen und der Winkel zwischen

A B

und

C D

hat den vorgegeben Wert.

HAL9000

09:44 Uhr, 18.04.2025

Es war wie gesagt nur eine kurze Machbarkeitsstudie. Wenn du direkt auf die Koordinaten aus bist (mit vorgegebenen Punkten

A = (0, 0)

sowie

B = (a, 0)

), kannst du auch das Gleichungssystem von calc007 so "bearbeiten", dass man durch diverse Eliminationen ebenfalls zu nur einer quadratischen Gleichung in einer der gesuchten Variablen kommt: Zweite und vierte Gleichung würde ich ersetzen durch

(1) x_{C} - x_{D} = c r

mit

r := \cos (α)

(2) y_{C} - y_{D} = - c s

mit

s := \sin (α)

.

Die anderen beiden sind dann

(3) {(x_{C} - a)}^{2} + y_{C}^{2} = b^{2}

(4) x_{D}^{2} + y_{D}^{2} = d^{2}

.

Nun (1)(2) in (3) eingesetzt:

{(x_{D} + c r - a)}^{2} + {(y_{D} - c s)}^{2} = b^{2}

x_{D}^{2} + 2 (c r - a) x_{D} + {(c r - a)}^{2} + y_{D}^{2} - 2 c s y_{D} + c^{2} s^{2} = b^{2}

.

Davon (4) subtrahiert ergibt sich folgende lineare Gleichung in

x_{D}, y_{D}

2 (c r - a) x_{D} + {(c r - a)}^{2} - 2 c s y_{D} + c^{2} s^{2} = b^{2} - d^{2}

y_{D} = \frac{2 (c r - a) x_{D} + {(c r - a)}^{2} + c^{2} s^{2} - b^{2} + d^{2}}{2 c s}

.

Mit den weiteren Abkürzungen

u := \frac{c r - a}{c s}

und

v := \frac{{(c r - a)}^{2} + c^{2} s^{2} - b^{2} + d^{2}}{2 c s}

haben wir daher

y_{D} = u x_{D} + v

, was in (4) eingesetzt ergibt

x_{D}^{2} + {(u x_{D} + v)}^{2} = d^{2}

(1 + u^{2}) x_{D}^{2} + 2 u v x_{D} + v^{2} - d^{2} = 0

.

Diese quadratische Gleichung ist zu lösen, dann hat man

x_{D}

und über

y_{D} = u x_{D} + v

auch

y_{D}

, und mit (1)(2) dann auch

x_{C}, y_{C}

.

Natürlich hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen - auf Romans Skizze im letzten Beitrag bezogen entsprechen die dem grünen sowie blauen Viereck.

P.S.: Das rote sowie lila Viereck bekommt man, wenn man (2) durch

(2 ´) y_{C} - y_{D} = c s

ersetzt. ;-)

Thomas74 aktiv_icon

14:23 Uhr, 18.04.2025

Vielen Dank für die auführliche Beschreibung des Rechenwegs, auf den ich keinesfalls alleine gekommen wäre!

Ich habe versucht, die Rechnung mit den Werten die ich als Basis für meine Skizze verwendet habe, auszurechnen und dazu Deine Gleichungen in Matlab eingetippt.

a = 210;

c = 170;

b = 90;

d = 190;

α = \frac{18}{180} \cdot π;

r = cos (α);

s = sin (α);

u = \frac{c \cdot r - a}{c \cdot s};

v = \frac{{(c \cdot r - a)}^{2} + c^{2} \cdot s^{2} - b^{2} + d^{2}}{2 \cdot c \cdot s};

Die Quadratische Gleichung stelle ich so um, dass "xD^2" frei steht

(1 + u^{2}) \cdot

xD^2

+ 2 \cdot u \cdot v \cdot

+ v^{2} - d^{2} = 0

xD^2

+ \frac{2 \cdot u \cdot v}{1 + u^{2}} \cdot

+ \frac{v^{2} - d^{2}}{1 + u^{2}} = 0

und löse sie dann über die bekannte p-q-Formel:

p = \frac{2 \cdot u \cdot v}{1 + u^{2}};

q = \frac{v^{2} - d^{2}}{1 + u^{2}};

xD1

= - \frac{p}{2} + \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q};

xD2

= - \frac{p}{2} - \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q};

Allerdings sind die Ergebnisse xD1/2 komplexwertig, da der Ausdruck in der Klammer offensichtlich negativ geworden ist:
xD1

= 156.9459 + i 97.7690

Was mache ich falsch?

Roman-22

15:24 Uhr, 18.04.2025

Überprüfe die angegebenen Maße und deren Zuordnung zu den Variablen, welche du eingangs in deiner Zeichnung festgelegt hast. Da scheint was nicht zusammen zu passen.

HAL9000

16:01 Uhr, 18.04.2025

Ja, vielleicht solltest du mal mit einem Zahlenbeispiel anfangen, für das auch WIRKLICH so ein Viereck existiert:

Hab mal mit dem Programm Euklid Dynageo experimentiert, welche Winkel

α

für deine vorgegebenen Werte

a, b, c, d

überhaupt möglich sind, und da kommen grob gerundet für konvexe ABCD ungefähr

2 8^{\circ} \dots 4 6^{\circ}

in Frage, d.h.,

1 8^{\circ}

definitiv nicht. :(

Roman-22

16:20 Uhr, 18.04.2025

In der Tat, der (absolut) kleinste Neigungswinkel der Koppel, der mit diesen Maßen erzielbar ist, liegt knapp über 28°.

Die nicht-reellen Ergebnisse für die Koordinaten von

D

sind also durchaus gerechtfertigt.

Thomas74 aktiv_icon

16:21 Uhr, 18.04.2025

Ja, so sieht es auch bei mir aus.
Für Winkel im richtigen Bereich bekomme ich reelllwertige Ergebnisse.
Ich probiere noch ein Bisschen herum und melde mich nochmal.

Vielen Dank und beste Grüße

Thomas74 aktiv_icon

16:23 Uhr, 18.04.2025

Kann man den "zulässigen" Winkelbereich für gegebene Kantenlängen ausrechnen?
Das wäre noch eine Zusatzaufgabe, deren Lösung ebenfalls sehr interessant für mich wäre.

Roman-22

16:51 Uhr, 18.04.2025

Ich betrachte das mal kinematisch als Gelenksviereck. Mit den von dir gegebenen Maßen stellt sich eine Kurbelschwinge ein - der Arm um

B

kann sich um 360° drehen, jener um A aber nur in einem bestimmten Bereich hin und her schwingen.
Du könntest nun die Position von

C

und

D

für eine bestimmte Lage des Arms BC berechnen und daraus dann mithilfe der arctan Funktion den Neigungswinkel der Koppel. Abhängig könntest du das vom Auslenkwinkel

φ

des Arms BC machen.
Du hättest dann eine Funktion

α (φ)

für den gewünschten Winkel, den du dann mit analytischen Methoden untersuchen kannst um das Minimum und Maximum dessen Absolutwerts zu bestimmen.
Probleme sehe ich darin, dass du den Bereich dieses Winkels

φ

einschränken musst, weil dich ja nur konvexe Vierecke interessieren und du somit die Lage, bei der das Viereck von konvex in nicht-konvex wechselt bestimmen müsstest.
Eine Animation die das verdeutlichen soll hab ich dir unter ibb.co/PZZkY7rN bereitgestellt.
Dich interessiert da nur der Bereich von phi=0° bis phi~~133,8°

Hier der Verlauf von

α

in Abhängigkeit von

φ

Thomas74 aktiv_icon

19:26 Uhr, 18.04.2025

Wahnsinn.
Das hast Du sehr schön dargestellt und erklärt.

Die Bezeichnung Gelenkviereck trifft den Nagel auch wirklich auf den Kopf, finde ich.
Um hier ein Bisschen Hintergrund zu schaffen sollte ich erwähnen, dass der Anwendungsfall ein technisches Bauteil bestehend aus 4 Stäben, die drehbar verbunden sind, ist.
Der untere Stab "A" wird mit dem Fundament fest verbunden und "liegt im Wasser".
Die Last wird senkrecht nach oben zeigend (pos. y-Richtung) auf Stab

c

befestigt.
Das Ziel ist, die Last in einem praxisgerechten Intervall (grob

\frac{+}{- 20}

°) kontinuierlich vertikal schwenkbar zu lagern, und dabei den Schwerpunkt der Last möglichst konstant zu halten.
Die Bauteillängen sind dementsprechend fest vorgegeben.
Meine Aufgabe ist nun, die beste Konfiguration der Längen zu ermitteln.

Aber das nur am Rande.

Danke nochmal an alle, die mir geholfen haben!

Roman-22

19:38 Uhr, 18.04.2025

Na, durchgehend einen Winkel von 0° erhältst du natürlich für

a = c

und

b = d,

also wenn das Viereck ein Parallelgramm formt.
Generell scheint

b = d

und die damit erzielte Symmetrie nicht unvernünftig zu sein.
Wenn die Bewegungsraum der Koppel

c

limitiert sein soll, kann man das Parallelgramm ja zB mit einer Kurbelschwinge koppeln - zu sehen zB in www.youtube.com/watch?v=sVcFcpckw2Y
Aber natürlich ist die Schwerpunktkonstanz da nicht gegeben, wobei mir nicht ganz klar ist, eas genau unter der Zielvorgabe "vertikal schwenkbar" zu verstehen ist. Soll der Mittelpunkt der Strecke

c

fest bleiben und dieser Stab sich bloß um diesen Mittelpunkt drehen? Oder soll der Stab

c

sich im Idealfall bloß auf und ab bewegen - da ist, schätze ich, ein Gelenkviereck vl nicht der passende Mechanismus.
Ansonsten hilft es vielleicht, sich in das Thema Kinematik - Gelenkvierecke, etc. ein wenig einzulesen.

Thomas74 aktiv_icon

21:11 Uhr, 18.04.2025

Mit vertikaler Schwenkbarkeit meine ich den Anstieg der Geraden

c,

auf der das Bauteil später stehen wird.

Ich werde mir das Video gerne anschauen und mich ein wenig mit dem Thema Kinematik beschäftigen, das klingt interessant.

Danke.

Thomas74 aktiv_icon

13:27 Uhr, 28.04.2025

Jetzt habe ich doch nochmal eine Frage zu diesem Thema.
In meiner ursprünglichen Skizze führt ein (positiver) Winkel

α

zu einem negativen Anstieg der Geraden

c, d . h

. yC

\leq

yD.

Ich würde gerne auch einen positiven Anstieg abbilden können, was ich gedanklich durch Einfügen des Winkels

α

links des Koordinatenursprungs

〈 =

Punkt

A)

mache - siehe neue Skizze.

Wenn ich versuche, die entsprechenden Auwirkungen in HAL9000s Gleichungen umzusetzen, komme ich eigentlich nur auf eine Vorzeichenänderung bei Gleichung 2 und demensprechend auf Vorzeichenänderungen bei den Abkürzungen "u" und "v".

Leider ist das Ergebnis nicht plausibel, weshalb ich davon ausgehe, dass ich wieder etwas nicht beachtet habe.

Vielleicht könnte ihr mir nochmals helfen.
Das wäre prima.

HAL9000

17:02 Uhr, 28.04.2025

> und demensprechend auf Vorzeichenänderungen bei den Abkürzungen "u" und "v".

Richtig, was letztlich zu denselben

x_{D}

führt, aber zu

y_{D}

mit geändertem Vorzeichen.

Beachte meine Anmerkung im P.S. meines Beitrags vom 18.4., 9:44. hinsichtlich der vier farbigen Vierecke in der Skizze von Roman - dort kann man genau das beobachten.

> Leider ist das Ergebnis nicht plausibel

Womöglich hast du noch einen Fehler in dem Automatismus der Auswahl des "richtigen" der beiden Vierecke, welche die quadratische Gleichung liefert. Oben im Beispiel etwa erfüllen nur das grüne sowie rote Viereck die meist übliche Bedingung, dass die vier Eckpunkte A,B,C,D im mathematisch positiven Drehsinn (d.h. entgegen dem Uhrzeigersinn) positioniert sein müssen.

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