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Angabe der Menge Omega

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Ist das so OK? Gibt es verbesserungsvorschläge?

Brot000 aktiv_icon

14:36 Uhr, 17.10.2008

Hallo zusammen,
zur Stochastik Vorlesung müssen wir in einer Aufgabe eine Formale Angabe machen.

zur Aufgabe :
Für eine Untersuchung stehen 3 weibliche und 2 männliche Versuchstiere zur Verfügung. Es sollen nacheinder 2 der 5 Tiere ausgewählt werden.

a)

Beschreiben Sie Formal die Menge Omega der möglichen Versuchsergebnisse.

Also erst mal zusammenfassen.
3 weibliche=w
2 männliche=m
2 von 5 Tiere=t nacheinander auswählen

Nun zur Aufgabenstellung

Omega=:

{

{

t_{1}, t_{2}) | t_{1}, t_{2} c {w_{1}, w_{2}, w_{3}, m_{1}, m_{2}}, t_{1} \neq t_{2}}

|OMEGA|=10
(Weiß jetz leider nicht wie ich abstände in die Formelzeichen einfüge.)

Würde es so machen aber ist gibt wohl was eleganteres oder?

Gruß Markus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

18:22 Uhr, 17.10.2008

Hallo Markus,

ich weiß nicht, ob es etwas eleganteres für

Ω

gibt, man kann höchstens etwas formal umschreiben:

T := {w_{1}, w_{2}, w_{3}, m_{1}, m_{2}}

dann wäre

Ω := {(t_{1}, t_{2}) \in T \times T ∣ t_{1} \neq t_{2}}

, aber wie gesagt, das ändert eigentlich nichts. Deine Formulierung ist genauso gut.

Mich wundert nur die Formulierung, es werden 2 Tiere nacheinander ausgewählt, das hört sich so an als käme es auf die Reihenfolge an. Damit wäre:

∣ Ω ∣ = 20

. So ist die Menge eigentlich auch definiert, denn egal, ob z.B.

(w_{1}, m_{2})

oder

(m_{2}, w_{1})

bei beiden Paaren gilt

t_{1} \neq t_{2}

, also sind beide Paare in

Ω

enthalten, obwohl dieselben Tiere dort drin sind.

Gruß
Tobias

Brot000 aktiv_icon

19:07 Uhr, 17.10.2008

Hi Tobias,
stimmt das ist gar nicht so aufgefallen aber auf solche feinheiten muß man achten.

Wie kommst du auf |Omega|=20 ? Durch aufschreiben kriege ich das auch noch hin aber Mathematisch...

und

ist
Omega=:{{ t1,t2)|t1,t2 $\subset$ {w1,w2,w3,m1,m2},t1≠t2}
ein Unterschied zu
Omega=:{{ t1,t2)|t1,t2 $\in$ {w1,w2,w3,m1,m2},t1≠t2}

anonymous

01:37 Uhr, 18.10.2008

Hi,

zunächst einmal zu

∣ Ω ∣ = 20

. Wie bist du denn auf die 10 gekommen?
Normalerweise hätte ich über den Binominalkoeffizienten berechnet:

(\binom{5}{2}) = 10

, denn dieser gibt die Möglichkeiten an, aus einer 5-elementigen Menge eine Teilmenge aus 2 verschiedenen Elementen zu bilden, ohne auf die Reihenfolge der Elemente zu achten (also wäre

(m_{1}, w_{1}) = (w_{1}, m_{1})

).

Nun müssen wir also unsere Menge noch um die Anzahl erweitern, die entstehen, wenn wir die 2-elementige Teilmenge verschieden anordnen. Im Allgemeinen gilt für eine n-elementige Menge, dass es

n!

Möglichkeiten der Reihenfolge der Elemente gibt. Also in unserem Fall

2! = 2

.

Also gilt, wenn die Reihenfolge wichtig wird:

∣ Ω ∣ = (\binom{5}{2}) \cdot 2! = 10 \cdot 2 = 20

Zu deinen Mengen-Notationen:
Ja, da gibt es einen großen Unterschied, die letzte Notation ist richtig, die erste falsch =) Will heißen, bei der ersten Notation steht:

t_{1}, t_{2} \subset T

, in Worten:

t_{1}

und

t_{2}

sind Teilmengen von

T

. Jedoch sind dies überhaupt keine Mengen von

T

, sondern Elemente. Deswegen wäre die zweite Schreibweise richtig, denn dort steht:

t_{1}

und

t_{2}

sind Elemente von

T

.
Teilmengen von

T

wären z.B.

{w_{1}}

oder

{w_{2}, m_{2}}

etc.

Brot000 aktiv_icon

19:54 Uhr, 18.10.2008

Hi,
verstehe ich habs kapiert danke zunächst

;)

Ich würde gerne die 2 Teilaufgaben diskutieren:

b)

Für

i = 1,2

bezeichne

W;

das Ereignis,
dass das i-te ausgewählte Tier weiblich ist.
Stellen Sie die folgenden verbal formulierten
Ereignisse

A_{1}, A 2, A_{3}, A_{4}

als mengentheoretische
Verknüpfungen der Ereignisse

W_{1}

und

W_{2}

dar,
und geben Sie diese als Teilmengen von Ω an:

A_{1} =

Das 1. gezogene Tier ist männlich, das 2. gezogene Tier ist weiblich.

A_{2} =

Es ist höchstens ein gezogenes Tier weiblich.

A_{3} =

Beide gezogenen Tiere sind männlich.

A_{4} =

Es wird ein Pärchen gezogen.

"mengentheoretische Verknüpfungen" verwirrt mich ein Wenig aber ich verstehe es so:

A_{1} = (w_{1}^{c}, w_{2}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = 0.3

A_{2} = (w_{1}, w_{2}^{c}) v (w_{1}^{c}, w_{2}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = 0.6

A_{3} = (w_{1}^{c}, w_{2}^{c}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = 0.1

A_{4} = (w_{1}, w_{2}) v (w_{1}^{c}, w_{2}^{c}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = 0.4

c)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der
Ereignisse

W_{1} W_{2}, A_{1},

. . .

, A_{4}

aus Teilaufgabe

b)

unter der Annahme, dass alle Elementarereignisse
gleichwahrscheinlich auftreten.

Die Aufgabenstellung irritiert mich aber ich denke so ist es gemeint

A_{1} = (w_{1}^{c}, w_{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0.25

A_{2} = (w_{1}, w_{2}^{c}) v (w_{1}^{c}, w_{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0.5

A_{3} = (w_{1}^{c}, w_{2}^{c}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0.25

A_{4} = (w_{1}, w_{2}) v (w_{1}^{c}, w_{2}^{c}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0.5

müßte so stimmen bei der

b)

aber bei der

c)

bin ich mir nicht sicher.

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