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Ansatz für Partialbruchzerlegung komplexer Nullst.

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Komplexe Zahlen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Integration, Komplex, Komplexe Zahlen, Partialbruchzerlegung, Partielle Differentialgleichungen

NomaX aktiv_icon

13:36 Uhr, 23.03.2009

Hi,

ich habe hier eine Formel, wo ich nur komplexe Nullstellen rausbekomme.

\int \frac{x^{2} + 7 x + 12}{{(x^{2} - 2 x + 5)}^{2}}

Nun habe ich probleme einen Ansatz für eine Partialbruchzerlegung zu finden.

Bei den Nennernullstellen komme ich auf

x_{1,2}

auf

1 \pm 2 j

und

x_{3,4}

ebenfalls auf

1 \pm 2 j

.

Würde der Ansatz dann so aussehen?: (sind ja 2 zweifache komplexe Nullstellen)

x_{1,2} =

(Ax+B)/(x^2-2x+5)

; x_{3,4} =

(Ax+B)/(x^2-2x+5)^2

Bin mir bei

x_{3,4}

nicht sicher wie das aussehen muss?! (eigentlich bin ich mir garnicht sicher wie der Ansatz aussehen muss)

Kann mir da jemand mit dem Ansatz helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

MBler07 aktiv_icon

21:44 Uhr, 23.03.2009

Hi

Was du mit dem

x_{1,2}

und

x_{3,4}

willst versteh ich nicht ganz. Sobald du weißt, dass nur komplexe Nullstellen vorliegen nimmst du den Standardansatz

A x \cdot B

. Hier wäre das:

... = \frac{A}{x^{2} - 2 x + 5} + \frac{B x + C}{{(x^{2} - 2 x + 5)}^{2}}

Die Integration der entstehenden Ausdrücke ist dann auch noch interessant...

Grüße

Edit: In dem Fall kannst du das auch viel einfacher machen, indem du den Bruch auseinander ziehst. Dafür schreibst du in den Zähler

+ 9 x - 9 x + 7 - 7

. Das verechnset du sinnvoll, machst aus dem einen Bruch drei und kürzt im ersten.

NomaX aktiv_icon

12:00 Uhr, 24.03.2009

Hi, danke für deine Antwort.

Leider habe ich so meine Probleme hiermit, da ich ein echter Laie bin mit diesen partial-geschichten.

Bisher dachte ich das der Ausdruck nur möglich ist in verbindung mit einer reellen Nullstelle? Wenn dem nicht so ist... auch gut! (EDIT: Das habe ich mir gerade selber beantwortet!)

Ich versteh deine Vereinfachnung nich so ganz. Ok, eigentlich garnicht :-)

Ich wäre jetzt folgendermaßen da rangegangen:

1)

Hauptnenner bilden

2)

Konstanten berechnen (hätte ich jetzt für

A = 1, B = 9

und

C = 7

raus?!)

3)

aufstellen des Integrals

4)

Auflösen der Integrale nach Papula #63 und #67

Wäre das so halbwegs richtig, oder befinde ich mich noch immer auf dem totalen Holzweg?

Gruß

MBler07 aktiv_icon

12:11 Uhr, 24.03.2009

"Ich wäre jetzt folgendermaßen da rangegangen:"
Ist richtig. Genau das hab ich ja auch gemacht. Das unter "Edit" ist eine Vereinfachung/Beschleunigung der Zerlegung.

(Nur Zähler)

- 9 x + 9 x = 0

- 7 + 7 = 0

\to x^{2} + 7 x + 12 - 9 x + 9 x - 7 + 7 = x^{2} - 2 x + 5 + 9 x + 7 \to \frac{x^{2} - 2 x + 5}{{(...)}^{2}} + \frac{9 x}{{(...)}^{2}} + \frac{7}{{(...)}^{2}} = \frac{1}{...} + \frac{9 x}{{(...)}^{2}} + \frac{7}{{(...)}^{2}}

\Rightarrow A = 1

B = 9

C = 7

je nachdem wie man den Ansatz angenommen hat.
Funktioniert aber nur wenn Zähler und Nenner ähnlich sind.

Wenn du die Integraltafel nutzen darfst, kannst du das natürlich machen. Solltest allerings auch noch #64 dazunehmen.

NomaX aktiv_icon

12:33 Uhr, 24.03.2009

Achso, ok!

Momentan sieht das ganze bei mir so aus:

\int \frac{d x}{x^{2} - 2 x + 5} + 9 \cdot \int \frac{x d x}{{(x^{2} - 2 x + 5)}^{2}} + 7 \cdot \int \frac{d x}{{(x^{2} - 2 x + 5)}^{2}}

wären dann der Reihe nach #63, #67, #64

Ich hab so das gefühl, das die Werte der Konstanten nicht stimmen...

Denn das Ergebnis sollte lauten

\frac{4 x - 13}{2 (x^{2} - 2 x + 5)} + \frac{3}{2} {tan}^{- 1} (\frac{x - 1}{2})

Mit den konstanten von

1,9

und 7 komme ich jedoch nicht zum arctan sondern zum

ln

weil

Δ = - 53 < 0

MBler07 aktiv_icon

12:36 Uhr, 24.03.2009

Schau dir doch noch mal genau an, wie das

Δ

definiert ist, also worauf sich

a, b, c

beziehen.

NomaX aktiv_icon

12:42 Uhr, 24.03.2009

Klein aber fein...

Fehler gefunden :-)

Meld mich gleich nochmal mit dem Lösungsweg komplett oder mit nem Nervenzusammenbruch!

MBler07 aktiv_icon

12:49 Uhr, 24.03.2009

Du stehst bei sowas schon kurz vorm Nervenzusammenbruch?
Dann solltest du dein Studium besser abbrechen. Da kommen bestimmt noch viel tollere Sachen :-)

Was studierst du eigentlich?

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