Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Anwendung des Binominalkoeffizienten (nCr)

Anwendung des Binominalkoeffizienten (nCr)

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Hypergeometrische Verteilung

Tags: Binomialkoeffizient

davechristopher aktiv_icon

14:13 Uhr, 27.01.2012

Hallo,

ich benötige zum Verständnis der folgende Aufgabe eure Hilfe:

Von den

10

Blitzbirnen einer Schachtel sind 4 schon benutzt worden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter 5 zufällig entnommenen Blitzbirnen

a)

genau 3 unbenutzte?

b)

mindestens 3 unbenutzte?

Ist der folgende Rechenweg bzw. meine Gedanken dazu korrekt?

zu

a)

Zunächst ermittele ich mit dem Binominalkoeffizient(nCr) die Gesamtanzahl der Auswahlmöglichkeiten bei fünf zufällig entnommen Blitzbirnen.

Also 5 aus

10 : (\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix}) = 252

Möglichkeiten

Danach ermittele ich die Auswahlmöglichkeiten für 3 unbenutze (also 3 aus

6)

und 2 benutzte

(2

aus

4),

da ja insgesamt 5 gezogen werden müssten.

D . h

(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = 120

Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann so:

\frac{120}{252} = 47,6 %

b)

ich mache das selbe wie oben nur mit folgenden Bedingungen, da ja die unbenutzen nicht weniger als 3 seien dürfen:

3 unbenutzee und 2 benutzte

(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = 120

4 unbenutzte und 1 benutze

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 60

5 unbenutzte und 1 benutze

(\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) = 6

\frac{120 + 60 + 16}{252} = 73,8 %

Ist das alles so logisch nachvollziehbar?
Wie könnte ich denn

z . B

. den Ausdruck

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})

als Binominalkoeffizient darstellen? Also mit Fakultäten?
Aja und warum kommt hier überhaupt die Binominalkoeffizient zum Einsatz? Ich weiß zwar, dass ich sie anwenden muss, aber nicht warum...

Ich freue mich über sämtliche antworten!

Vielen Dank!

Viele Grüße
Dave

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

prodomo aktiv_icon

14:32 Uhr, 27.01.2012

Binomialverteilung ist nicht korrekt, hier gilt hypergeometrische Verteilung.

prodomo aktiv_icon

14:32 Uhr, 27.01.2012

Binomialverteilung ist nicht korrekt, hier gilt hypergeometrische Verteilung.

davechristopher aktiv_icon

14:47 Uhr, 27.01.2012

Ups vermutlich habe ich Binomialverteilung mit Binomialkoeffizienten verwechselt...

Underfaker aktiv_icon

15:14 Uhr, 27.01.2012

Habe mir nur

a)

angesehen und das ist in der Tat alles ok, Respekt.

Es gibt dafür auch eine Formel:

\frac{(\begin{matrix} K \\ k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} N - K \\ n - k \end{matrix})}{(\begin{matrix} N \\ n \end{matrix})}

In deinem Fall:

N =

Anzahl der Birnen

10

n =

Anzahl der entnommenen Birnen 5

K =

Anazhl der unbenutzten Birnen 6

k =

Anzahl der der gesuchten Treffer 3

So.

Ich bitte dich für die Zukunft die Begriffe zu klären, Binomialverteilung hat hier wirklich nichts zu suchen, damit verwirrt man hier wahrscheinlich jeden, den Binomialkoeffizienten benutzt du hier mit der Erklärung die du schon selbst gebracht hast.

z

. B.

(\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix}) \to

Anzahl der Möglichkeiten für die 5 entnommenen Birnen.

Der Binomialkoeffizient berechnet wieviele Möglichkeiten es gibt

k

Elemente aus einer n-elemtingen Menge auszuwählen, in deinem Fall wieviele Möglichkeiten gibt es 5 Birnen aus den gesamten

10

auszuwählen.

Und noch:

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!} \to (\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{10!}{(10 - 5)! \cdot 5!} = \frac{3628800}{120 \cdot 120} = 252

Das wolltest du ja auch ncoh wissen.

magix aktiv_icon

15:15 Uhr, 27.01.2012

Hallo,

ich denke, dass du es richtig gemacht und nur den Begriff verwechselt hast. Wie prodomo schreibt, ist es natürlich eine hypergeometrische Verteilung. Denn es handelt sich hier ja um Ziehen ohne Zurücklegen, während es bei der Binomialverteilung um Ziehen mit Zurücklegen geht..

Den Binomialkoeffizienten kannst du so in ausgeschriebener Form darstellen:

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{5!}{2! \cdot 3!}

oder allgemein

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

davechristopher aktiv_icon

15:22 Uhr, 27.01.2012

Vielen Dank euch allen!

Kann man die Forenkategorie noch nachträglich ändern?

Underfaker aktiv_icon

15:25 Uhr, 27.01.2012

Wenn du das Thema der Frage meinst, dann ja, du musst nur auf "bearbeiten" deines ersten Posts klicken

968053

968022

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?