Anwendungen mit Spurpunkte

Hallo,
Ich versuche seit gestern eine Anwendungsaufgabe zu Spurpunkten zu lösen, aber ich komme leider nicht weiter. Ich habe zwar Lösungsvorschläge parat, aber das Problem ist, dass ich diese Aufgabe präsentieren muss. Die Aufgabe befindet sich unten im Anhang.

Lösungsvorschlag/Ansatz:

geg:

A(1I3I6)

B(2I4I3)

${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\\ 6\end{array}\right)+\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\\ -2\end{array}\right)}$

ges:

Spurpunkte

Lös:

Die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen bezeichnet man als Spurpunkte der Geraden. So wird z.B. der Schnittpunkt der Geraden mit der x-y-Ebene als Spurpunkt Sxy bezeichnet, in der die z-Koordinate z=0 ist.

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0\iff 6-2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0 \\ \iff -2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-6\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:(-2) \\ \iff \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=3} \end{gathered}$$

${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\\ 6\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}5\\ -2\end{array}\\ 0\end{array}\right)}$

Sxy(5I-2I0)

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0\iff -1+2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0 \\ \iff -2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:(-2) \\ \iff \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\frac{1}{2}} \end{gathered}$$

${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\\ 6\end{array}\right)+-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 5\end{array}\\ 7\end{array}\right)}$

Syz(0I5I7)

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0\iff 4-2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0 \\ \iff -2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-4\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:(-2) \\ \iff \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2} \end{gathered}$$

${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\\ 6\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\\ 2\end{array}\right)}$

Sxz(3I0I2)

${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\\ 6\end{array}\right)+\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\\ -2\end{array}\right)}$

B-A
${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\\ -3\end{array}\right)}$

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\\ -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\\ 6\end{array}\right)+\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\\ -2\end{array}\right) \\ \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\\ -18\end{array}\right)+\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\\ -2\end{array}\right) \\ \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:-1+2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:4-2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:-18-2\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \end{gathered}$$
${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\\ -14\end{array}\right)}$

Hallo nieaufgeber,

Ich verstehe, also habe ich die Spurpunkte von der Geraden h richtig berechnet und muss aus den Punkten A und B eine Gleichung bilden (?). Ich hoffe du kannst meine Lösungsvorschläge gut erkennen, weil überall "<br id="elCustomTag0" />" erscheint...

Danke nieaufgeber, für deine Unterstützung.
Lösung:

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\\ 6\end{array}\right)+\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\\ 6\end{array}\right)}$

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\\ 6\end{array}\right)+\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\\ -3\end{array}\right)}$

${\displaystyle \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0\iff 6-3\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0\iff \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2}$

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\\ 6\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\\ 0\end{array}\right)}$

Sxy(3I5I0)

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\\ 6\end{array}\right)+\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\\ -3\end{array}\right)}$

${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0\iff 1+1\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0\iff \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-1}$

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\\ 6\end{array}\right)+-1\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\\ 9\end{array}\right)}$

Syz(0I2I9)

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\\ 6\end{array}\right)+\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\\ -3\end{array}\right)}$

${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0\iff 3+1\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0\iff \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-3}$

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\\ 6\end{array}\right)+-3\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}-2\\ 0\end{array}\\ 15\end{array}\right)}$

Sxz(-2I0I15)

Vielen Dank nieaufgeber für Deine Hilfe! :-) Als letzten Schritt brauche ich nur noch ein 3-Dimensionales Koordinatensystem zeichnen und die Geraden g und h abtragen. Ich wünsche Dir noch ein schönes Wochenende. ;-)



MfG, cyberbruce