Anwendungsaufgabe, Lineare Algebra

Hallo Zusammen,

Ich habe ein Problem bezüglich euner Anwendungsaufgabe zur Linearen Algebra.

Bisher habe ich schon geschnittene Gleichungen, Schnittpunkte zwischen Geraden und Ebenen aber auch Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen durchgenommen.

Nun wurde mir diese Frage gestellt und ich fühle mich als wäre es chinesisch (was ich nicht spreche).

Zur Frage:

Die Grundfläche eines Körpers ist quadratisch und mit den Eckpunkten:

A1 (4|4|0), A2 (4|-4|0), A3 (-4|-4|0) und A4 (-4|4|0).

Die Deckfläche ist ebenfalls eben und hat die Eckpunkte:

B1 (2|3|4), B2 (3|-2|4), B3 (-2|-3|4) und B4 (-3|2|4).

Punkte mit gleichem Index sind mit einer geradlinigen Strecke verbunden. Somit entsteht ein "verdrehter Pyramidenstumpf".

a)Ich soll nun die Aufsicht des Körpers zeichen und mich überzeugen, dass auch die Deckfläche quadratisch ist. ("in der x3 - Richtung nach unten auf die x1-x2-Ebene blickend")

b)Welche Längen haben die Seitenkanten s des Körpers.

c) Begründen sie, dass die Seitenflächen des Körpers eben sind.

d) Begründen sie rechnerisch, dass sich die Seitenkanten durch eine Verlängerung nicht schneiden.

e) In welchen Winkel sind die Seitenkanten gegen die Horizontalebene geneigt.

Wir haben bisher nie mit Flächen, von denen wir vier Punkte kannten noch mit Zeichnungen gerechnet.

Mein Problem ist nun, dass ich total auf der Leitung stehe und nicht mal den Ansatz sehe.

Ich hoffe mir kann jemand helfen und mit mir zusammen einen Ansatz finden.

Danke im Vorraus!

Hallo BjBot,

Ja da hast du recht, bei a) soll man nur eine Zeichnung liefern um somit zu zeigen, dass die Deckebene auch quadratisch ist.

Leider habe ich bei eurer kleinen Auseinandersetzung ganz den Faden verloren und weiss immernoch nicht wirklich, wie es dann weitergeht.

Hoffe du kannst mir da auf die Sprünge helfen.

Ja mach dir nichts drauss, leider habe ich schon bei der Erklärung von a) nichts verstanden, da es keine wirkliche Erklärung gab.

Also ich sehe, dass du immer nur die ersten beiden Zahlen in den Punkten hernimmst.

Sprich bei A1 (4|4|0) wird zu den Koordinaten (4/4) und dann für die anderen genauso.

Was ich daran erkenne, ist wie vermutet, dass die Deckfläche quadratisch ist, jedoch leicht gedreht.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass dein a, b, c, d die Seitenkanten s sind.

Ah, also wenn ich etwas in die x1-x2 Ebene zeichen soll, ist x3 total irrelevant, schon mal was gelernt.

Ja soweit ist mir klar, was du gemacht hast und ich kann sehen, was du sagst.

Ok, ich habe das schonmal an einem Dreieck gemacht, da ist es aber irgendwie einfacher (zumindest jetzt noch).

Aber ich versuchs mal.

Ich schaue mir die Seite a (in deiner Zeichnung) an.

a ist die Strecke zwischen A1 und B1.

A1 (4|4|0) und B1 (2|3|4)

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ = ${\displaystyle \begin{array}{ccc}4& -2& =2\\ 4& -3& =1\\ 0& -4& =-4\end{array}}$

Der Betrag daraus ist nun: ${\displaystyle 2^2+1^2+{-4}^2=21}$

Also ${\displaystyle \sqrt{21}=4.48}$ (und das sollte die Länge sein)

bei c) hast du ja schon angesprochen mit der Punktprobe dies zu zeigen.

Ich habe nun A1, A2 und B1 in der Ebene und will zeigen, dass B2 nicht in dieser ist.

${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}=\overrightarrow{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}+\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\overrightarrow{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}+\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\overrightarrow{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}}$

Punkte einsetzen und dann s + t berechnen.

Wenn man dann s und t einsetzt, und die Werte von ${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$ rauskommen, liegt der Punkt in der Ebene und sollte dies nicht der Fall sein, liegt der Punkt nicht in der Ebene.

Stimmt das?

Sorry für die etwas doofe Frage (jedoch will ich mir sicher sein, dass ich es auch verstehe), aber irgendwie bin ich mir nicht ganz schlüssig, was mit "eben" gemeint ist.

Hallo BjBot,

Ok, sprich ein Dach eines Hauses ist somit uneben zu der Grundfläche, da es ja nicht parallel ist sondern "schief".

Ich arbeite gerade an der d) über Geradengleichungen und ob es einen Schnittpunkt gibt.

Darf ich dich später vielleicht nochmal kontaktieren, sollte ich Probleme haben?

Bin dir auf jedenfall super dankbar für deine Mühen hier aber auch deine Zeit, mir Mathe zu erklären.

Hallo, also d) habe ich nun gelöst und gezeigt, dass sich die zwei Geraden nicht schneiden.

Bei der d) jedoch habe ich wieder ein kleines Problem.

Aufgaben wie "Unter welchem Winkel schneiden sich die Gerade" sind kein Problem, aber irgendwie fehlt mir der Gedanke, wie ich das nun auf die Ebene umsetze.

Kannst du mir da vielleicht nochmal helfen? Wäre dir super dankbar. (bin ich zwar eh schon, aber dann noch mehr :) )

Ah jetzt versteh ich es, danke dir.

Bei d) habe ich nur mit A1B1 und A3B3 gerechnet, da im Tip stand "z.B. die Strecke A2B2 und die Strecke A4B4", deswegen dachtet ich, dass nicht alle 7 (wenn ich richtig gezählt habe) Schritte gebraucht werden.

Mir ist klar, dass sich die Strecken A1B1 und A4B4 zum Beispiel irgendwo schneiden werden.

Zu e)

${\displaystyle \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left|\overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|}}$

n hast du ja schon gesagt, dass sich (0|0|1) eigen würde und den Richtungsvektor ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ bekommt man, indem ich B-A nehme?

Hallo BjBot,

also ich habe jetzt die anderen beiden Geraden A1B1 und A2B2 gerechet und auch die e) gemacht.

Ich wollte mich aufjedenfall ganz herzlich bei dir bedanken, dass du mir mit deiner Zeit so super weitergeholfen hast und habe echt viel dabei gelernt. Menschen erklären halt doch besser wie Bücher.

Ich wünsch dir nun einen schönen Start ins Wochenende und nochmals vielen Dank =)