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Anzahl Knoten und Kanten in regulärem Graphen
Universität / Fachhochschule
Graphentheorie
Tags: Graphentheorie
 
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Sei G ein einfacher, zusammenhägender, planarer, 3-regulärer Graph. G unterteilt die Ebene in 4 6-eckige und n 3-eckige Flächen. Bestimmen Sie unter Verwendung der eulerschen Polyederformel (F - E + V = 2) * n * Die Anzahl der Kanten * Die Anzahl der Knoten von G. Meinen bisherigen Versuch habe ich angehängt. Ich glaube aber, dass meine Berechnung der Anzahl Kanten falsch ist, ich glaube es müsste sein statt (da ja die Aussenkanten nicht doppelt gezählt werden). Wenn ich da aber kein Gleichzeichen habe, weiss ich nicht wie ich weitermachen soll...  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hier ist eine Lösung (siehe Anhang). Ich kann aber nicht beweisen, dass sie eindeutig ist. ist aber falsch Anzahl der Kanten des Graphen). Vielmehr gilt gemäß dem Prinzip des doppelten Abzählens, wobei die Anzahl der Kanten der Außenfläche sei (es gilt also . So gilt . für den Graphen im Anhang .  |
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Hi, man soll ja ein eindeutiges n und eine eindeutige Anzahl an Kanten und Knoten bestimmen. Aber ich habe mir in der Zwischenzeit die Antwort selber so erklärt, dass mein ursprünglicher Ansatz doch richtig war, und die Aussenfläche in die 3 bzw 6-Ecke bereits mitgezählt wurde, i.e. dass der Graph G selber 3 oder 6 Aussenkanten hat. Damit wäre also (4*6 + 3n)/2 = E doch richtig gewesen. |
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Da stimme ich dir vollkommen zu. |
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Das ist Schwachsinn. Du zählst die einmal Kanten und zu jeder Kante gehören genau zwei Flächen. Dann gehst Du die Flächen durch und zählst für jede Fläche die Kanten, die zu der Fläche gehören. Das sind in diesem Fall Kanten, wobei die Anzahl der Kanten der Außenfläche ist. Gemäß dem Prinzip des doppelten Abzählens gilt dann . Und bei sind die Kanten der Außenfläche eben noch nicht mitgezählt. Und wenn Deine Lösung richtig sein soll, dann zeichne doch mal Deinen Graphen. Und zudem hätten wir dann mit meiner Lösung schon zwei Lösungen und die Aufgabe wäre garnicht wohlgestellt. Anbei noch drei einfache Beispiele für das doppelte Abzählen.  |
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(markiere die frage als beantwortet) |
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OK, wenn man die Außenfläche auch als Sechs- oder Dreieck betrachtet, wird es wohl stimmen. Aber woher weiß man dann, dass der Graph überhaupt existiert ? Ich würde den schon mal ganz gerne auch tatsächlich sehen... |
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@wuf123 Dein Vorgehen ist im Grunde richtig, aber inkonsistent ausgeführt, mit einem Fehler im Ansatz. Wenn wir bei der Euler-Formel davon ausgehen wollen, dass der Außenbereich entweder eines der vier Sechsecke oder eines der Dreiecke ist, dann darfst du bei der Anzahl der Flächen nicht noch 1 addieren. Du hast das ja bei der Berechnung der Kantenanzahl mit auch nicht getan! Mit ergibt sich dann aber also Punkte, Kanten und 8 Flächen (inkl. der Außenfläche). Könnte dann wie nachstehend skizziert aussehen, einmal mit einen "Dreieck" als Außenfläche und dann einmal mit einem Sechseck außen.  |
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Wunderschön symmetrisch, Danke Roman22 ! Wieder viel gelernt hier, so als Graphen-Anfänger (die Außenfläche, die Außenfläche...) ! |
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@Esser Es ist ja grundsätzlich die hier absolut nicht passende Wortwahl, aber gerade angesichts deiner Selbsteinschätzung als Graphen-Anfänger ist es umso mehr unverständlich, warum du den im Kern stimmigen Ansatz des Fragestellers mit einem "Das ist Schwachsinn." verächtlich abwertest. |
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@wuf123 Ich habe es eben erst bemerkt, dass du die Frage auch in anderen Foren gestellt hast www.mathelounge.de/1085004/polyederformel-3-regularer-graph Da spricht mMn grundsätzlich auch nichts dagegen, aber es gehört doch zum guten Ton, dass man das bei Fragestellung auch angibt, vorzugsweise mit einem Link auf die entsprechende Seite. |
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@Roman: Danke vielmals für deine Antwort, und super gesehen dass ich die Aussenfläche dann zu viel gezählt habe, du hast natürlich Recht! Danke für den Hinweis bzgl mehrfach postens. Werde ich in Zukunft beachten! |
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@Roman: Danke vielmals für deine Antwort, und super gesehen dass ich die Aussenfläche dann zu viel gezählt habe, du hast natürlich Recht! Danke für den Hinweis bzgl mehrfach postens. Werde ich in Zukunft beachten! |
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Ich fühle mich ermahnt. Zu obigem Zeitpunkt hielt ich es noch für absurd, die Außenfläche als ein n-Eck zu betrachten. Aber dann wurde mir klar, dass auch die Formulierung der Aufgabe gerade das impliziert. Anbei noch ein Bearbeitungsvorschlag der Aufgabe zum Sammeln...  |
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Zu obigem Zeitpunkt hielt ich es noch für absurd, Es ging um die Wortwahl einem Fragesteller gegenüber - unabhängig davon, ob sein Ansatz tatsächlich falsch war oder nur irrtümlich von dir für falsch gehalten wurde. Eine Formulierung wie zB "Ist nicht mein Fachgebiet, aber es kommt mir absurd vor, dass ..." wäre netter gewesen und hätte es dem Fragesteller auch erleichtert, die Antwort richtig einzuordnen. |
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Der Fragesteller hat mich doch eh ignoriert... |
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