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Anzahl der Basen im Vektorraum

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper

kleineMoewe aktiv_icon

19:03 Uhr, 24.11.2009

Guten Abend,
ich komme gerade aus der Uni und wir haben ewig an den AlgebraÜbungen gesessen. Bei der einen Aufgabe sind wir auf keine Lösung gekommen. Vielleicht kann einer von euch uns ja helfen.
Die Aufgabe ist:

Es sei

K

ein endlicher Körper.

a)

Bestimmen Sie die Anzahl der Basen im K-Vektorraum

K^{n}

(soll

k

hoch

n

sein. Will der aber nicht schreiben)

b)

Bestimmen Sie für jedes

k \leq n

die Anzahl der k-dimensionalen Unterräume des Kn

c)

Folgern Sie, dass es genau so viele (n-1)-dimensionale Unterräume wie 1-dimensionale Unterräume im

K^{n}

gibt.

Bei der

a)

haben wir uns überlegt, dass es ja eigentlich

n

Basen geben müsste. BAsen Spannen einen Vektorraum auf. Sobald es

n

Basisvektoren gibt, kann jeder Punkt erreicht werden. Nur wie schreibt man das mathematisch auf?

Bei der

b

und

c

haben wir gar keine Ahnung

: - (

Wäre total toll, wenn uns jemand helfen könnte!!
Alles Liebe, Sophie

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

hagman aktiv_icon

22:22 Uhr, 24.11.2009

a)

Sei

q

die Anzahl der Elemente von K.
Der erste Vektor

b_{1}

der Basis kann frei gewählt werden - außer dem Nullvektor. Das macht schon einmal

q^{n} - 1

Der zweite Vektor

b_{2}

kann ebenfalls frei gewählt werden, nur keiner der

q

von

b_{1}

abhängigen Vektoren. Macht

q^{n} - q

Beim dritten sind es

q^{n} - q^{2}

usw.
Insgesamt kommt man auf

(q^{n} - 1) \cdot (q^{n} - q) \cdot (q^{n} - q^{2}) \cdot . .

\cdot (q^{n} - q^{n - 1})

Basen des

K^{n}

b)

Wenn wir wie eben einfach

k

linear unabhängige VEktoren suchen, was auf

(q^{n} - 1) \cdot (q^{n} - q) \cdot (q^{n} - q^{2}) \cdot . .

\cdot (q^{n} - q^{k - 1})

Weisen geht, erwischen wir gewiss jeden k-dimensionalen Unterraum von

K^{n}

.
Tatsächlich erwischen wir einen solchen Unterraum

U

sogar mehrfach, nämlich für jede Basis von

U

einmal.
Aus

a)

wissen wir, dass

U

genau

(q^{k} - 1) \cdot (q^{k} - q) \cdot (q^{k} - q^{2}) \cdot . .

\cdot (q^{k} - q^{k - 1})

Basen hat.
Also gibt es

\frac{(q^{n} - 1) \cdot (q^{n} - q) \cdot (q^{n} - q^{2}) \cdot ... \cdot (q^{n} - q^{k - 1})}{(q^{k} - 1) \cdot (q^{k} - q) \cdot (q^{k} - q^{2}) \cdot ... \cdot (q^{k} - q^{k - 1})}

k-dimensionale Unterräume in V.

c)

Für

k = 1

ergibt sich

\frac{q^{n} - 1}{q - 1}

Für

k = n - 1

ergibt sich

\frac{(q^{n} - 1) \cdot (q^{n} - q) \cdot (q^{n} - q^{2}) \cdot ... \cdot (q^{n} - q^{k - 1})}{(q^{k} - 1) \cdot (q^{k} - q) \cdot (q^{k} - q^{2}) \cdot ... \cdot (q^{k} - q^{k - 1})}

= (q^{n} - 1) \cdot \frac{(q^{n} - q) \cdot (q^{n} - q^{2}) \cdot ... \cdot (q^{n} - q^{k - 1})}{(q^{k} - 1) \cdot (q^{k} - q) \cdot ... \cdot (q^{k} - q^{k - 2})} \cdot \frac{1}{q^{k} - q^{k - 1}}

= (q^{n} - 1) \cdot q^{k - 1} \cdot \frac{(q^{k} - 1) \cdot (q^{k} - q^{1}) \cdot ... \cdot (q^{k} - q^{k - 2})}{(q^{k} - 1) \cdot (q^{k} - q) \cdot ... \cdot (q^{k} - q^{k - 2})} \cdot \frac{1}{q^{k} - q^{k - 1}}

= \frac{(q^{n} - 1) \cdot q^{k - 1}}{q^{k} - q^{k - 1}} = \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

Hamster88 aktiv_icon

00:56 Uhr, 25.11.2009

sry für OT:

Aber du bist nicht etwa in Mainz an der Uni beim Leinen? xDDD

Hamster88 aktiv_icon

00:57 Uhr, 25.11.2009

sry für OT:

Aber du bist nicht etwa in Mainz an der Uni beim Leinen? xDDD

edit: erst hängts, dann wirds doppelt gepostet

- . -

sry

=)

kleineMoewe aktiv_icon

08:38 Uhr, 25.11.2009

Vielen, vielen Dank an hagman. Du hast uns gerettet.

@hamster Doch bin ich :-D) hat dir die antwort auch geholfen?

Hamster88 aktiv_icon

13:23 Uhr, 25.11.2009

Hi,
ja sicher hat mir die Antwort auch geholfen, wir haben da auch gestern rumgerätselt bis zum geht nicht mehr xD

Aber soo ganz verstanden hab ichs trotzdem nich

- . -

Trotzdem auch ein Danke von mir

=)

LG
Hamster

BjBot aktiv_icon

13:40 Uhr, 25.11.2009

Sind bei a) dann nicht zuviele Basen drin (Beachtung der Reihenfolge) ?

wise910 aktiv_icon

11:31 Uhr, 05.12.2009

Hallo hagman,

Deine Lösung ist ja schön und gut, allerdings verstehe ich nicht, wie du bei der Aufgabe

c)

von der drittletzten Zeile auf die vorletzte kommst?

Was hast du da ausgeklammert? Ich hab alles versucht um das herauszufinden. Aber es geht einfach nicht..

Wäre dankbar für Aufklärung..

Grüße, Wilma

690878

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