 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Anzahl der Konjugationsklassen in GL(n,K)
Anzahl der Konjugationsklassen in GL(n,K)
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Konjugationsklassen, Lie-Algebra, matriz, Matrizengruppen
 
|
  |
|---|
|
Hallo zusammen, ich möchte gerne ein paar "Eigenschaften" von Matrizengruppen wie beispielsweise der oder bestimmen. Die Ordnung der allgemeinen linearen Gruppe beträgt wahrscheinlich "unendlich" ? Wie bestimme ich denn die Anzahl der Konjugationsklassen oder die maximale Ordnung eines Elements in (auch unendlich?)? Wie sehen mögliche Kompositionsreihen aus? Ich weiß, das sind sehr viele Fragen, aber eventuell kann mir hier ja jemand weiterhelfen! Vielen Dank schon mal und liebe Grüße :-) user3333 |
|
 |
|
Das sind sehr interessante Fragen und Probleme, mit denen du dich hier beschäftigst. Soviel kann man auf die Schnelle schon mal sagen, wenn der Körper endlich ist, dann ist natürlich GL(n,K) für jedes eine endliche Gruppe, da es ja nur Matrizen gibt. Z.B. ist , wenn der Körper mit 2 Elementen ist. Es ist , hat also wie 3 Konjugationsklassen. Also forsche mal fleißig. Ich stehe zur Verfügung :-) Gruß ermanus |
 |
|
Hallo, genau das habe ich vorher auch schon zufällig herausgefunden! :-) Ich frage mich allerdings, wie das beispielsweise für K=R (reelle Zahlen) aussehen würde, da der zugrundeliegende Körper dann schon mal unendlich viele Elemente aufweist. Vielen Dank, ich gebe mein Bestes ;-) Liebe Grüße, user3333 |
|
|
|
Wenn der Körper unendlich ist, dann ist auch unendlich; denn ist die -Einheitsmatrix, so ist die Menge eine unendliche Untergruppe. Da die Elemente von alle paarweise nicht konjugiert sind, gibt es also auch unendlich viele Konjugationsklassen. Im Falle =komplexe Zahlen liegt in jeder Konjugationsklasse (bis auf die Reihenfolge der Jordankästchen) genau eine Jordansche Normalform mit Eigenwerten . |
|
|
|
Stimmt, diese Erklärung habe ich gesucht, vielen Dank! Paarweise nicht konjugiert bedeutet, dass jedes Element eine eigene Konjugationsklasse bildet? Warum liegt im Fall der komplexen Zahlen in jeder Konjugationsklasse genau eine Jordansche Normalform? Ich tue mir gerade schwer, hier den Zusammenhang zu erkennen. Liebe Grüße, user3333 |
|
|
|
"Warum liegt im Fall der komplexen Zahlen in jeder Konjugationsklasse genau eine Jordansche Normalform?" Weil jede Matrix zu einer Jordan-Normalform konjugiert ist und zwei unterschiedliche Jordan-Normalformen nicht konjugiert sind. Das ist gerade die Hauptaussage der Jordan-Normalform-Theorie. Satz 5.7 hier www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/physs11/mi0806.pdf oder Folgerung 20.15 hier www.mathematik.uni-kl.de~gathmann/class/gdm-2019/gdm-2019-c20.pdf |
 |
|
Hallo DrBoogie, vielen Dank, das habe ich noch nicht gewusst! Liebe Grüße, user3333 |
1531411
1531306