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Anzahl der wicklungen errechnen?
Schüler Fachoberschulen, 13. Klassenstufe
Tags: Zahlenfolge
 
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Hallo, ich habe eine mehr oder weniger komplizierte Aufgabe. Ich bin für jeden Lösungsansatz dankbar. 1. Auf einer Rolle mit einem Durchmesser von 25,1 mm wird eine Papierbahn von 10,99 m Länge aufgerollt. Das Papier ist 0,1 mm dick. a) Berechnen Sie den Umfang der ersten, zweiten und der k-ten Wicklung! b) Bestimmen Sie, wie viele Wicklungen sich insgesamt ergeben. Summieren Sie dazu die Umfänge aller Wicklungen und berechnen Sie aus der sich ergebenen Summenformel die Wicklungszahl! c) Berechnen Sie, welche Dicke die Rolle nach dem Aufwickeln hat! Aufgabe A ist gelöst, aber wie bekomme ich die anzahl der wicklungen bis 10,99 meter heraus. Meine formeln helfen mir nicht weiter. ich kann ja schlecht jede wicklung einzeln im umgang berechnen und addieren. bis zu 1meter habe ich alle umfänge ausgerechnet, also als summe. weiter komm ich nicht, sonst rechne ich morgen noch.. Bitte um hilfe |
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Na die frage scheint echt wieder so hart zu sein, das diese keine lösen kann. Danke trotzdem für den versuch... MC |
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a) Der Radius der k-ten Wicklung beträgt (alles in mm): rk = 25,1/2 + k*0,1
Der Umfang der k-ten Wicklung beträgt: Uk = 2*Pi*rk = 2*Pi*(12,55 + k*0,1)
Daraus ergibt sich U1 = 79,4823 U2 = 80,1106 Uk = Pi*25,1 + k*Pi*0,2
b) Wenn man die Umfänge aufsummiert, wobei k von 1 bis n läuft, muss die Summe 10990mmm sein. Da der Umfang mit jeder Wicklung um die gleich Strecke, nämlich Pi*0,2mm wächst, handelt es sich um eine arithmetische Reihe.
Für die Summe einer arithmetischen Reihe gilt
S = n/2 * (a1 + an)
n: Anzahl der Summanden a1: erstes Glied (hier U1) an: letztes Glied (hier Un)
Also:
n/2 * (U1 + Un) = 10990 n/2 * (2*Pi*(12,55 + 0,1) + 2*Pi*(12,55 + n*0,1)) = 10990 n*Pi*(12,55 + 0,1 + 12,55 + n*0,1) = 10990 n*Pi*(25,2 + n*0,1) = 10990 n*Pi*25,2 + n²*PI*0,1 = 10990 Beide Seiten durch Pi*0,1 dividieren n² + 252*n = 109900/Pi Quadratische Ergänzung: n² + 252*n + 126² = 109900/Pi +126² (n + 126)² = 50858,2565
n1 + 126 = +225,517752 n1 = 99,517752
n2 + 126 = -225,517752 n2 ist negativ, zu verwerfen
Es ergeben sich also etwa 99,52 Wicklungen.
c) Dicke = Durchmesser = 2*rn = 2*(25,1/2 + 99*0,1) = 44,9
Nach dem Aufwickeln hat die Rolle den Durchmesser 44,9mm
GRUSS, DK2ZA
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