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Anzahl irreduzibler Polynome bestimmen

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom

Stochastikerin

15:33 Uhr, 09.02.2025

Ich möchte die Anzahl der irreduziblen normierten Polynome bestimmen, und zwar vom Grad

2, 3, 4, 5

und

6 \in F_{2} [x]

und

F_{3} [x]

Dabei möchte ich den Satz benutzen,

Das Polynom

{(x^{p})}^{n} - x

ist das Produkt aller normierter irreduzibler Polynome in

F_{p} [x]

vom Grad

n

mit

d

teilt

n

Ich verstehe erstmal das grobe Vorgehen.

Beispiel für Grad 2:

{(x^{p})}^{n} - x = x^{4} - x

Jetzt bestimme ich die Teiler von

2,

die wären

T_{2} = {1,2}

Ein Polynom 1. Grad hat die Form

x + a,

mit

a = 0,1

F_{2}

1. Option:

x + 0 \Rightarrow x

(Nullstelle bei

x = 0,

somit irreduzibel)
2. Option:

x + 1 \Rightarrow x + 1

(Nullstelle bei

x = 1,

somit irreduzibel)

Ein Polynom 2. Grades hat die Form x^2+ax+b,

a, b = 0,1

Jetzt habe ich schon 8 Möglichkeiten, wie das Polynom aussieht und müsste für jedes der 8 Polynome überprüfen, ob es für 0 und 1 eine Nullstelle hat um aussagen zu können, dass es irreduzibel ist (oder nicht).

Insbesondere bei größeren Teilern/Grad bin ich irgendwie ratlos, wie man das erkennt, beispielsweise für Grad 5 oder

6 \in F_{3}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

HAL9000

08:38 Uhr, 10.02.2025

> Jetzt habe ich schon 8 Möglichkeiten, wie das Polynom aussieht und müsste für jedes der 8 Polynome überprüfen, ob es für 0 und 1 eine Nullstelle hat um aussagen zu können, dass es irreduzibel ist (oder nicht).

Zunächst mal sind es bei

a, b \in {0, 1}

nur

2^{2} = 4

Möglichkeiten statt 8. Weiterhin erledigt sich Fall

b = 0

sofort durch die Faktorisierung

x^{2} + a x = x (x + a)

. Bleibt nur die Untersuchung von

x^{2} + a x + 1

mit

a \in {0, 1}

, und die sollte schnell erledigt sein.

Und bei dem genannten Satz (den du natürlich auch anwenden könntest) hat sich in deine Formulierung ein Fehler eingeschlichen: Dort geht es um das Produkt aller irreduziblen Polynome vom Grad

d

(statt deines falschen

n

) mit

d

teilt

n

.

EDIT: Und es ist da noch ein Fehler - das Polynom lautet

x^{p^{n}} - x

, und der Potenzturm ist in der Klammerung als

x^{(p^{n})}

zu lesen. Dieser Fehler kommt bei

p = 2, n = 2

noch nicht zum Tragen, deswegen war es mir nicht gleich aufgefallen.

EDIT2: Ok, man sollte die Aufgabenstellung schon gründlich lesen, was ich zugegeben zunächst auch nicht getan habe. Es ist keineswegs gefordert, dass alle irreduziblen Polynome eines bestimmten Grades aufgelistet werden - es ist nur deren Anzahl zu bestimmen.

Und das ist mit dem genannten Satz ziemlich leicht, indem man den Polynomgrad betrachtet: Sei

a_{n}

die Anzahl der irreduziblen Polynome vom Grad

n

F_{p} [x]

n = 1

x^{p} - x

hat Grad

p

, via

a_{1} \cdot 1 = p

bekommt man dann

a_{1} = p

n = 2

x^{p^{2}} - x

hat Grad

p^{2}

, via

a_{1} \cdot 1 + a_{2} \cdot 2 = p^{2}

bekommt man dann

a_{2} = \frac{p^{2} - p}{2}

n = 3

x^{p^{3}} - x

hat Grad

p^{3}

, via

a_{1} \cdot 1 + a_{3} \cdot 3 = p^{3}

bekommt man dann

a_{3} = \frac{p^{3} - p}{3}

n = 4

x^{p^{4}} - x

hat Grad

p^{4}

, via

a_{1} \cdot 1 + a_{2} \cdot 2 + a_{4} \cdot 4 = p^{4}

bekommt man dann

a_{4} = \frac{p^{4} - p^{2}}{4}

usw.

Es gibt auch eine allgemeine explizite Formel, in die die zahlentheoretische Möbiusfunktion

μ

( de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6biusfunktion ) einfließt:

a_{n} = \frac{1}{n} \sum_{d ∣ n} μ (\frac{n}{d}) p^{d}

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