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Anzahl irreduzibler Polynome bestimmen

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom

Stochastikerin

15:33 Uhr, 09.02.2025

Ich möchte die Anzahl der irreduziblen normierten Polynome bestimmen, und zwar vom Grad

2, 3, 4, 5

und

6 \in F_{2} [x]

und

F_{3} [x]

Dabei möchte ich den Satz benutzen,

Das Polynom

{(x^{p})}^{n} - x

ist das Produkt aller normierter irreduzibler Polynome in

F_{p} [x]

vom Grad

n

mit

d

teilt

n

Ich verstehe erstmal das grobe Vorgehen.

Beispiel für Grad 2:

{(x^{p})}^{n} - x = x^{4} - x

Jetzt bestimme ich die Teiler von

2,

die wären

T_{2} = {1,2}

Ein Polynom 1. Grad hat die Form

x + a,

mit

a = 0,1

F_{2}

1. Option:

x + 0 \Rightarrow x

(Nullstelle bei

x = 0,

somit irreduzibel)
2. Option:

x + 1 \Rightarrow x + 1

(Nullstelle bei

x = 1,

somit irreduzibel)

Ein Polynom 2. Grades hat die Form x^2+ax+b,

a, b = 0,1

Jetzt habe ich schon 8 Möglichkeiten, wie das Polynom aussieht und müsste für jedes der 8 Polynome überprüfen, ob es für 0 und 1 eine Nullstelle hat um aussagen zu können, dass es irreduzibel ist (oder nicht).

Insbesondere bei größeren Teilern/Grad bin ich irgendwie ratlos, wie man das erkennt, beispielsweise für Grad 5 oder

6 \in F_{3}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

HAL9000

08:38 Uhr, 10.02.2025

> Jetzt habe ich schon 8 Möglichkeiten, wie das Polynom aussieht und müsste für jedes der 8 Polynome überprüfen, ob es für 0 und 1 eine Nullstelle hat um aussagen zu können, dass es irreduzibel ist (oder nicht).

Zunächst mal sind es bei

a, b \in {0, 1}

nur

2^{2} = 4

Möglichkeiten statt 8. Weiterhin erledigt sich Fall

b = 0

sofort durch die Faktorisierung

x^{2} + a x = x (x + a)

. Bleibt nur die Untersuchung von

x^{2} + a x + 1

mit

a \in {0, 1}

, und die sollte schnell erledigt sein.

Und bei dem genannten Satz (den du natürlich auch anwenden könntest) hat sich in deine Formulierung ein Fehler eingeschlichen: Dort geht es um das Produkt aller irreduziblen Polynome vom Grad

d

(statt deines falschen

n

) mit

d

teilt

n

.

EDIT: Und es ist da noch ein Fehler - das Polynom lautet

x^{p^{n}} - x

, und der Potenzturm ist in der Klammerung als

x^{(p^{n})}

zu lesen. Dieser Fehler kommt bei

p = 2, n = 2

noch nicht zum Tragen, deswegen war es mir nicht gleich aufgefallen.

EDIT2: Ok, man sollte die Aufgabenstellung schon gründlich lesen, was ich zugegeben zunächst auch nicht getan habe. Es ist keineswegs gefordert, dass alle irreduziblen Polynome eines bestimmten Grades aufgelistet werden - es ist nur deren Anzahl zu bestimmen.

Und das ist mit dem genannten Satz ziemlich leicht, indem man den Polynomgrad betrachtet: Sei

a_{n}

die Anzahl der irreduziblen Polynome vom Grad

n

F_{p} [x]

n = 1

x^{p} - x

hat Grad

p

, via

a_{1} \cdot 1 = p

bekommt man dann

a_{1} = p

n = 2

x^{p^{2}} - x

hat Grad

p^{2}

, via

a_{1} \cdot 1 + a_{2} \cdot 2 = p^{2}

bekommt man dann

a_{2} = \frac{p^{2} - p}{2}

n = 3

x^{p^{3}} - x

hat Grad

p^{3}

, via

a_{1} \cdot 1 + a_{3} \cdot 3 = p^{3}

bekommt man dann

a_{3} = \frac{p^{3} - p}{3}

n = 4

x^{p^{4}} - x

hat Grad

p^{4}

, via

a_{1} \cdot 1 + a_{2} \cdot 2 + a_{4} \cdot 4 = p^{4}

bekommt man dann

a_{4} = \frac{p^{4} - p^{2}}{4}

usw.

Es gibt auch eine allgemeine explizite Formel, in die die zahlentheoretische Möbiusfunktion

μ

( de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6biusfunktion ) einfließt:

a_{n} = \frac{1}{n} \sum_{d ∣ n} μ (\frac{n}{d}) p^{d}

Stochastikerin

16:23 Uhr, 10.04.2025

Vielen Dank für die Antwort.
Die Funktion unten verstehe ich, nur haben wir diese nicht besprochen, weshalb ich davon erstmal absehen würde.

Ich verstehe allerdings nicht die Rechnungen dadrüber..

Nehmen wir

F_{2} [x]

und die verschiedenen Polynome

Dann haben wir

x^{p^{n}} - x

ist das Produkt aller normierter irreduzibler Polynom in

F_{p} [x]

vom Grad

d

mit

d

teilt

n

.

Wie kommst du nun aber immer auf

"

a_{1} \cdot 1 = p

"
"

a_{1} \cdot 1 + a_{2} \cdot 2 = p^{2}

" etc

Die umgeformten Gleichungen, die durch einsetzen vorheriger

a_{i}

entstehen, kann ich wiederum nachvollziehen..

Insbesondere warum kommt bei

n = 3

kein

a_{2}

vor, bei

n = 4

kein

a_{3}

HAL9000

19:30 Uhr, 10.04.2025

Der Grad des Produktes mehrerer Polynome ist gleich der Summe der Grade der Polynomfaktoren - nichts weiter wird dort benutzt:

a_{1} \cdot 1 + a_{2} \cdot 2

ist der Grad des Produktpolynoms, wenn man

a_{1}

Polynome vom Grad 1 sowie

a_{2}

Polynome vom Grad 2 miteinander multipliziert!

Und es werden immer nur die Polynomgrade

d

einbezogen, die Teiler von

n

sind: 2 ist kein Teiler von 3, und 3 ist kein Teiler von 4 - soviel zu deiner Nachfrage (hast du ÜBERHAUPT über den Inhalt des Satzes mal nachgedacht?).

P.S.: Wartest du immer geschlagene zwei Monate, bis du Nachfragen zu Antworten stellst? Das kann auch mal schiefgehen...

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