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Anzahl surjektiver abbildungen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Abbildung, surjektiv

8mileproof aktiv_icon

23:16 Uhr, 31.10.2011

hey,

muss folgende aufgabe lösen:

Bestimme die Anzahl der surjektiven Abbildungen

4 \to 4

(4 \to 4

soll heißen, dass sowohl im definitionsbereich als auch zielbereich 4 elemente vorhanden sind)

also für die lösung der aufgabe habe ich ein wenig gegoogelt und habe folgende formel gefunden:

sei

f : N \to R

und

r

die anzahl der elemente aus

R,

dann gilt :

r! \cdot S_{n, r} =

Anzahl der surjektiven Abbildungen

(wobei

S_{n, r} = \frac{1}{r!} \cdot \sum_{j = 1}^{r} {(- 1)}^{r - j} (\begin{matrix} r \\ j \end{matrix}) j^{n}

die Stirling Zahl 2.Art darstellen soll)

r!

ist in meinem fall ja

4! = 24

. also habe ich mich anschließend um das

S_{n, r}

gekümmert, wo ich ein falsches ergebnis rausbekommen habe. also hier meine notizen:

S_{4,4} = \frac{1}{4!} \cdot \sum_{j = 1}^{4} {(- 1)}^{4 - 1} (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) 1^{4}

= \frac{1}{24} \cdot \sum_{j = 1}^{4} {(- 1)}^{3} \frac{4!}{1! (4 - 1)!} 1^{4}

wie ihr seht habe ich die stelle

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})

mit

\frac{4!}{1! (4 - 1)!}

ersetzt, denn es gilt ja

(\begin{matrix} r \\ j \end{matrix}) := \frac{r!}{j! (r - j)!}

und ich wusste nicht so ganz was ich mit dem

j

machen sollte, also habe ich dafür eine 1 geschrieben.

weiter gerechnet ergab sich folgendes:

= \frac{1}{24} \cdot \sum_{j = 1}^{4} - 1 \cdot \frac{4!}{1! (3)!} \cdot 1

= \frac{1}{24} \cdot \sum_{j = 1}^{4} - 1 \frac{24}{6} \cdot 1

= \frac{1}{24} \cdot \sum_{j = 1}^{4} - 4

= \frac{1}{24} \cdot (- 4 + (- 4) + (- 4) + (- 4))

= - \frac{16}{24}

ich weiß dass das ergebnis falsch ist. nur wo der fehler steckt, davon habe ich echt keine ahnung....bitte daher um hilfe

;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Aurel

01:01 Uhr, 01.11.2011

du darfst für

j

nicht nur einmal 1 setzen und dann fertig, sonderm im 1. Summanden 1. im 2.Summanden 2 usw. bis 4

also

z . B .

\sum_{j = 1}^{4} 2^{j} = 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}

Aurel

01:01 Uhr, 01.11.2011

du darfst für

j

nicht nur einmal 1 setzen und dann fertig, sondern im 1. Summanden 1. im 2.Summanden 2 usw. bis 4

also

z . B .

\sum_{j = 1}^{4} 2^{j} = 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}

8mileproof aktiv_icon

15:38 Uhr, 01.11.2011

ach ja, stimmt. wie dumm von mir, dass ich das summationszeichen in meiner rechnung außer acht lasse...danke für den tipp.....jetzt kommt genau das raus, was rauskommen sollte....

hagman aktiv_icon

17:25 Uhr, 01.11.2011

Eine Abbildung zwischen gleich großen, endlichen Mengen ist genau dann surjektiv, wenn sie bijektiv ist.
Die bijektiven Abbildungen

(d . h

. Permutationen) zählt aber bereits die Fakultätsfunktion.
Vergiss also vorerst den Quatsch mit Stirlingzahlen.

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