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Approximationsfehler bei Rang-p-Approximation

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Eigenwerte

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Matrizenrechnung

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Eigenwert, Lineare Abbildungen, Matrizenrechnung

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13:45 Uhr, 23.07.2012

Hallo zusammen

Wollte mal nachfragen, ob ich das richtig verstanden habe:

Die Aufgabe war:

Drücken Sie den Approximationsfehler in Abhängigkeit von

k

und der Singulärwertte

σ_{i}

aus von A aus, mit

A =

mxn-Matrix, r=rang(A), k=Rang der Approximation

Im Prinzip macht man dann die Singulärwertzerlegung dieser Matrix. Die Rang-k-Approximation entspricht dann einfach

\sum_{i = 1}^{k} U_{i} \cdot σ_{i} \cdot V_{i}^{T}

.

Man hätte dann

A - A_{r} = \sum_{i = k + 1}^{r} U_{i} \cdot σ_{i} \cdot V_{i}^{T}

Wenn man das mit der Frobeniusnorm normieren würde, hätte man ja dann einfach

\sqrt{σ_{k + 1}^{2} + ... + σ_{r}^{2}}

stimmt das so?

Hätte man nicht die Frobeniusnorm sondern die Spektralnorm würde dies ergeben:

| σ_{k} + 1 |,

da die Spektralnorm einer Diagonalmatrix dem grössten Eintrag (im Betrag) entspricht.

Stimmt dies so weit? Wäre euch wirklich dankbar fürs Durchsehen..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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