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Arbeit eines Vektorfeldes

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Feld, Integration

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13:42 Uhr, 26.12.2018

gegeben ist ein Vektorfeld

V (x, y) = (2 x, x - y)

Berechne die Arbeit des Feldes entlang einer Geraden von

(0,1)

nach

(1,2)

Ist dieses Vektorfeld ein Gradientenfeld?

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14:22 Uhr, 26.12.2018

Hinweis:

(x - y)

von den beiden Punkten berechnen

und feststellen, dass dieses Resultat an beiden Stellen gleich ist.

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14:54 Uhr, 26.12.2018

äh ja,

x - y

gibt für die genannten Punkte jeweils

- 1

nur was fange ich mit dieser Erkenntnis an?

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17:53 Uhr, 26.12.2018

Parametrisierung der Wegfunktion

\vec{s} (t) = \vec{A} + (\vec{B} - \vec{A}) \cdot t

\vec{s} (t) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \end{array}) + ((\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \end{array})) \cdot t

\vec{s} (t) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \end{array}) \cdot t

\vec{s} (t) = (\begin{array}{rcl} t \\ 1 + t \end{array})

x (t) = t

y (t) = 1 + t

\vec{V} = (\begin{array}{rcl} 2 x \\ x - y \end{array})

\vec{V} (t) = (\begin{array}{rcl} 2 \cdot t \\ 2 t - (1 + t) \end{array})

\vec{V} (t) = (\begin{array}{rcl} 2 \cdot t \\ t - 1 \end{array})

W = \int_{t (A)}^{t (B)} \vec{V} (t) \cdot \vec{s} (t) d t

W = \int_{0}^{1} (\begin{array}{rcl} 2 \cdot t \\ t - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} t \\ 1 + t \end{array}) d t

W = \int_{0}^{1} 2 t^{2} + (t - 1) (1 + t) d t

W = \int_{0}^{1} 2 t^{2} + t^{2} - 1 d t

W = \int_{0}^{1} 3 t^{2} - 1 d t

W = {[t^{3} - t]}_{0}^{1}

W = [1 - 1]

W = 0

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19:15 Uhr, 26.12.2018

danke sehr, das ist knackig geschrieben, wie kann ich diesen Text 1 zu 1 zu Papier bringen?

pleindespoir aktiv_icon

19:31 Uhr, 26.12.2018

Gerne - war mir ein Vergnügen!

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11:29 Uhr, 29.12.2018

hallo @pleini
könntest Du mir die noch verbliebene Frage beantworten:
Ist dieses Vektorfeld ein "Gradientenfeld"? ja/nein - warum
Meine Erinnerung wäre: wenn es ein solches ist, müsste ein entsprechendes Skalarfeld geben, aus dem selbiges durch Anwendung der Operators Grad hervorgeht. Oder liege ich (wie fast immer)völlig daneben?
guten Rutsch für Dich/Euch

pleindespoir aktiv_icon

12:31 Uhr, 29.12.2018

Deine Erinnerung kannst Du durch wikipedia verifizieren:

de.wikipedia.org/wiki/Gradientenfeld

In der hiesigen Aufgabe ist zwar kein Skalarfeld gegeben, aber es könnte eines existieren, aus dem sich die gegebenen Vektoren ergeben.

pwmeyer aktiv_icon

16:18 Uhr, 29.12.2018

Hallo,

nach meiner Erinnerung wird das Arbeitsintegral über

V (s (t)) \cdot s' (t)

und nicht über

V (s (t)) \cdot s (t)

gebildet!?

Gruß pwm

pleindespoir aktiv_icon

17:51 Uhr, 29.12.2018

Danke für die Erinnerungslückenstopfhinweisbemerkung-
ich habe da oben also wohl Mist gebaut und bitte um Nachsicht und Entschuldigung für die Arbeit, die meine vermeintliche Lösung verursacht haben könnte.

nouvaleur aktiv_icon

12:44 Uhr, 30.12.2018

eine überraschende Wendung
@pleini, könnte ich dann noch mal eine korrigierte Fassung erhalten - eine milde Gabe zum neuen Jahr?
herzlichst

n

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