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Arbeitsintegral

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Integration

Tags: Arbeitsintegral, Integration

Varon

22:07 Uhr, 20.06.2011

Meine Frage lautat ganz dämlich: wie berechne ich ein Arbeitsintegral?

Gegeben habe ich

\vec{F} = \nabla f (x, y, z)

mit

f (x, y, x) = x y z^{2} e^{x y}

in den Grenzen von (0/0/0) nach (1/2/3).

Meine erste Idee ist, dass ich den Gradienten von f(x,y,z) berechne. Außerdem kann ich nach folgenden Grenzen integrieren:

\int_{0}^{3} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} f (x, y, z) d x d y d z

So und das wars...Kann mir bitte jemand halbwegs unmathematisch (also mehr mit Wörtern als mit abtsrakten Formeln) sagen, wie ich vorgehe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

21:47 Uhr, 22.06.2011

Hallo,

die Arbeit, die verrichtet wird, wenn man sich innerhalb eines Kraftfeldes

\vec{F}

von einem Punkt

r_{1}

zu einem Punkt

r_{2}

bewegt, wird folgendermaßen berechnet:

W = \int_{\vec{r_{1}}}^{\vec{r_{2}}} \vec{F} (\vec{r}) \cdot d \vec{r}

Es handelt sich dabei um ein Kurvenintegral.

\vec{F}

ist ein Vektorfeld, weil jedem Punkt

\vec{r} = (x, y, z)

des Raumes ein Vektor zugeordnet ist. In unserem Fall entsteht das Vektorfeld durch Gradientenbildung aus einem Skalarfeld

f (x, y, z)

f

ist ein Skalarfeld, weil jedem Punkt

\vec{r} = (x, y, z)

des Raumes ein Skalar (also eine Zahl) zugeordnet ist. Wenn sich ein Vektorfeld auf diese Weise aus einem Skalarfeld erzeugen läßt, nennt man das Vektorfeld konservativ. In einem konservativen Vektorfeld (=Kraftfeld) ist das Arbeitsintegral vom Weg unabhängig,

d . h .,

egal welchen Weg man vom Punkt

\vec{r_{1}}

zum Punkt

\vec{r_{2}}

durchläuft, der Wert des Integrals ist immer der gleiche.

Nun zur Berechnung des Arbeitsintegrals. Wenn wir einen Weg

\vec{r} = \vec{r} (t)

haben, der von einem Parameter

t

abhängt für

a \leq t \leq b, \vec{r_{1}} = \vec{r} (a)

und

\vec{r_{2}} = \vec{r} (b),

kann man das Arbeitsintegral so schreiben:

W = \int_{a}^{b} \vec{F} (\vec{r} (t)) \cdot \frac{d \vec{r} (t)}{d t} \cdot d t

Zur Berechnung dieses Integrals gehen wir so vor:
1. Zuerst

\vec{F} (\vec{r}) = \vec{F} (x, y, z) = \nabla f (x, y, z)

berechnen.
2. Einen Weg von

(0,0,0)

nach

(1,2,3)

festlegen. Am einfachsten ist eine gerade Strecke zwischen diesen beiden Punkten, also

\vec{r} (t) = t \cdot (1,2,3) = (t, 2 t, 3 t), 0 \leq t \leq 1

. Dann ist wie gewünscht

\vec{r} (0) = (0,0,0)

und

\vec{r} (1) = (1,2,3)

3. In

\vec{F}

werden die

x, y

und

z

durch ihre entsprechende Paramterdarstellung ersetzt, also

x = t, y = 2 t

und

z = 3 t

.
4. Wir berechnen

\frac{d \vec{r} (t)}{d t} = (1,2,3)

5. Wir berechnen den Integranden durch Bildung des Skalarprodukts der beiden Vektoren

\vec{F} (\vec{r} (t))

und

\frac{d \vec{r} (t)}{d t}

6. Jetzt steht unter dem Integral nur noch eine Funktion von

t,

die wir für

t

von 0 bis 1 integrieren. Das ist dann das Ergebnis.

Jetzt lasse ich Dich das Ganze erst mal verdauen und Du schaust mal, was Du selber schaffst (ein bischen Erfahrung mit Kurvenintegralen hast Du ja schon). Wenn Du Fragen hast, stehe ich gerne zur Verfügung.

Viele Grüße
Yokozuna

Varon

22:38 Uhr, 22.06.2011

Ok, hab mittlerweile in der Vorlesung mitbekommen, wie es geht, danke!

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