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Archimedische Streifenmethode bei x^3
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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Hey Leutz...das Jahr faengt gerade mal an und schon komm ich nicht weiter mit meinen Hausaufgaben. Also die Aufgabe lautet: "Gesucht ist der Inhalt A der Flaeche zwischen dem Graphen von f(x)=x^3 und der x-Achse ueber dem Intervall [O;1]" Benoetigte Summenformel: 1^3+2^3+3^3...+n^3= n^3(n+1)^2 / 4 Wir haben das in der Schule mit x^2 gemacht. Das ist ja einach nur eine parabel, aber nun ist eine Kruemmung..wie gehe ich vor und wie Teile ich das ein und rechne ich das wie bei x^2 aus oder gibts Unterschiede? Bitte helfen, HA ist echt wichtig, damit ich weiterkomme.. |
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es it genauso wie bei der parabel, nur dass du eine andere summenformel dafür benötigst, die ja bereits gegeben ist. versuch es mal oder schreib wenigstens einen ansatz. wenn du das mit der parabel kannst solltest du es auch mit der kubischen funktion können. |
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ja also ich hab jetzt n ansatz... wir sollten das ja einmal mit -4-teile -n-teile machen. also bei der obersumme O4= 1/4 [(1/4)^3+(2/4)^3+(3/4)^3+(4/4)^3] O4= 1/4 x 1/4^3 [1^3+2^3+3^3+4^3] O4= 1/4^3 (100) O4=0.39 rund 0.4 ^^das hab ich jetzt so wie vorher gerechnet halt nur mit ..^3 anstatt hoch zwei. ist das richtig oder falsch?! bei der untersumme bin ich genauso vorgegangen und habe 0.56 raus. so, dann das mit den n-teilen, da komme ich überhaupt nicht mit zurecht. hab mir halt die summenformel nochmal angeschaut und diese ist ähnliche der der quadratischen. On= 1/n mal und dann die summenformel -.- dann habe ich das n^3 und in der formel das n^2 weggekürzt. als nächstes wollte ich den grenzwert bilden. im oberen teil der summenformel steht ja nun eine normale binomische formel, diese habe ich aufgelöst, also ausgerechnet. danachden bruchstrich geteilt, also es stand noch da: (n^2/4n + 2n/4n + 1/4n) das habe ich dann noch gekürzt und es heißt ja beim grenzwert bilden n gegen unendlich. also immer weiter gegen null und eigentlich müsste ich dann 0 für n einsetzen und etwas müsste übrig bleiben, dass dann mein ergebnis ist. aber nix da, da würde ja nix übrig bleiben -.- alles total falsch? bitte helfen :( |
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bei den vier streifen musst du dich bei der untersumme vertan haben, weil ich da 0,140625 raus hab. die obersumme passt bei den n streifen sind zwei fehler. am ersten fehler kannst du wahrscheinlich nicht wirklich was für die vorgegebene summenformel ist falsch richtig heißt sie s=n²*(n+1)²/4 die falsche vorgegebene hieß bei dir s=n³*(n+1)²/4 das hoch 3 beim ersten n ist falsch es muss hoch 2 heißen der zweite fehler ist, dass n nicht gegen 0 streben muss. n ist die anzahl der streifen. lässt du n gegen 0 streben so teilst du die fläche in 0 streifen ein. damit du den exakten flächeninhalt erhälst brauchst du aber unendlich viele streifen. n muss gegen unendlich streben. wenn du das beachtest solltest du A=1/4 als Fläche raushaben. Übrigens das ganze mit diesem summenkram brauchst du später nicht mehr so unbedingt es handelt sich hier um eine vorarbeit um zum thema integral zu kommen. später kannst du viel einfacher diese flächeninhalte bestimmen. |
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danke erstmal für die antwort. der fehler in der summenformel war lediglich ein tippfehler meinerseits. ich habe jedoch mit der richtigen gerechnet, aber trotzdem das falsche raus. kannst du mir vllt. 1. nochmal erklären wie du auf die obersumme gekommen bist? und 2. das mit der summenformel und n ab dem grenzwert bilden, denn das war bei mir ja total falsch. also wie ich von der summenformel dann halt zum umformen und zum schluss zum einsetzen und ergebnis komme?! |
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die untersumme meine ich.. |
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bei der untersumme weiß ich ja nichts was du falsch hast, aber es muss ca. so aussehen. U=1/4*[(0/4)³+(1/4)³+(2/4)³+(3/4)³] den rest kannst du dann ja selbst bei n teilen sieht es eigentlich so ähnlich aus ich mach es mal für die obersumme O=1/n*[(1/n)³+(2/n)³+(3/n)³+...+(n/n)³ als nächstes klamemre ich (1/n)³ aus O=(1/n)^4*(1³+2³+3³+...+n³)=(1/n)^4*n²*(n+1)²/4=(n+1)²/(4n²)=(n²+2n+1)/(4n²) =1/4+1/(2n)+1/(4n²) lässt du n gegen unendlich streben streben die letzten beiden glieder gegen 0 und 1/4 strebt gegen 1/4 es bleibt 1/4 übrig. |
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