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Archimedisches Axiom und ganze Zahlen
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Körper
 
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Moin, Behauptung: Nach dem Archimedischen Axiom kann man abschätzen, dass es zu jedem ein und ein gibt. Das das gilt habe ich schon gezeigt. Jetzt steht hier aber, dass aus der Behauptung folgt, dass es zu jeder Zahl eine ganze Zahl gibt mit . Wie komme ich darauf? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, zunächst würde ich annehmen, dass ist. Für ist . Für kannst du schreiben, als mit für alle . Dann setze . Für geht es dann ähnlich. Beste Grüße Sina |
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Okay danke schonmal ! Gibt es auch eine Möglichkeit dass ohne diese Summe zu machen, weil eigentlich noch gar keine Summen an diesem Punkt im Buch definiert wurden. Ich habe bis jetzt alle Körperaxiome und Ordnungsaxiome. Außerdem stehen mir die Peano-Axiome zur Verfügung. Ich hatte noch folgende Idee. Nach den Vorraussetzungen darf ich annehmen, dass mit . (siehe Beitrag am Anfang) Nach den Peano Axiomen (siehe Anhang) geht durch anwenden der Funktion (siehe Anhang) aus hervor. Das heißt wobei die Anzahl der Nachfolgerfunktionen die auf angewendet wurden ist. Das heißt zwischen und liegen Zahlen, die nach den Peano-Axiomen natürlich sind. Fall 1. Sei da gibt es mindestens natürliche Zahl die kleiner ist (0 ist immer kleiner). Die größte natürliche Zahl n unter x erhalten wir indem wir schreiben Aber irgendwie erscheint mir das mit dem Maximum so ein bisschen geschummelt. Ist das so gültig? Fall 2 und 3 gehen dann ja ähnlich.   |
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Hattet ihr schon die Wohlordnung der natürlichen Zahlen? "Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen hat ein kleinstes Element" ? |
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Ne davon hab ich noch nix gehört. Ich hatte nur Körperaximone und Ordnungsrelationen und Peano Axiome für natürliche Zahlen. Was ist denn falsch an meinem Beweis? |
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Das ist schon in Ordnung so, es wäre aber mit der Wohlordnung auch sehr schön gegangen. Das hätte man dann so gemacht(zunächst auch für ): Sei . Diese Menge ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und nicht-leer(sie ist nicht-leer nach der Behauptung, die du bereits gezeigt hast: Zu jedem gibt es mit ). Nach dem Satz über die Wohlordnung gibt es dann ein kleinstes Element in , wir nennen es mal . Dieses erfüllt dann offensichtlich deine Behauptung, denn es gilt aber . Damit folgt und |
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Okay. Jo das sieht ziemlich viel einfacher aus als was ich da veranstaltet habe. Aber der Satz kam noch nicht vor... Ich hätte noch eine Frage zu dem Anhang den ich hochgeladen habe. Hier noch mal... Was ist mit dem Satz: "Man kann zeigen, dass durch die Peano-Axiome die natürlichen Zahlen bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt sind." gemeint? Wie kann man das zeigen und was bedeutet das?   |
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Ich würde das so interpretieren: Angenommen, du hast eine Menge mit völlig beliebig Elementen, also mit einer Nachfolgerfunktion , die die Peanoaxiome erfüllen, d.h. es gibt ein Element in ihr, das Null heißt, und die Nachfolgerfunktion erfüllt all die schönen Eigenschaften. Dann gibt es bereits eine bijektive Abbildung zwischen und , die all diese Eigenschaften erhält, d.h. es wird die Null aus auf die Null in geworfen, es gilt (Nachfolger von Elementen aus M werden durch auf Nachfolger von den Bildern in geworfen. Bin mir aber selber nicht zu 100% sicher. Alles klar? |
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Achso "bis auf" in "Man kann zeigen, dass durch die Peano-Axiome die natürlichen Zahlen bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt sind." heißt, dass die Isomorphie erfüllt ist? Ich hätte das jetzt so interpretiert, dass man diese Isomorphie nicht zeigen kann... |
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"Ich hätte das jetzt so interpretiert, dass man diese Isomorphie nicht zeigen kann..." Nein, das ist damit nicht gemeint. Damit ist gemeint, dass diese Eindeutigkeit eben nur bis auf Isomorphie gilt. Man kann sich eben durchaus Mengen mit den gleichen Eigenschaften vorstellen, die die natürlichen Zahlen auch haben(deswegen ist es nicht eindeutig). DANN gibt es aber bereits einen Isomorphismus zwischen dieser Menge und den natürlichen Zahlen. Also ist es bis auf Isomorphie eindeutig. Der Grund, warum man das so macht: Wenn man eine Menge nur anhand ihrer Eigenschaften charakterisiert, dann kann man niemals Eindeutigkeit garantieren, da man die Elemente ja einfach umbenennen kann, ohne die Eigenschaften zu verändern. Deswegen macht man dann den Zusatz: bis auf Isomorphie eindeutig. Kleines Beispiel: Lässt man das Axiom: weg, so sind die natürlichen Zahlen nicht mehr eindeutig bestimmt(auch nicht bis auf Isomorphie), denn: Man kann einfach die Menge mit nur der nehmen. Die Nachfolgerfunktion bildet dann die auf sich selbst ab und alle anderen Peanoaxiome sind erfüllt. Diese Menge ist dann aber sicherlich nicht Isomorph zu den natürlchen Zahlen. Wirds damit klarer? |
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