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Arithmetische Mittel aus zwei Mengen berechnen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Statistik Maßzahlen

F1r3Pow3r aktiv_icon

15:42 Uhr, 07.02.2015

Hallo ich würde gerne wissen ob man zwei Mengen für die Berechnung des arithmetischen Mittel, vereinigen kann um auf eine Lösung zu kommen.

Zwei Personen ziehen aus einer Grundmenge insgesamt je eine Stichprobe

{

x1,…, xn

},

{

y1,…, yn }

erste Person mit

n = 10,

arithmetisches Mittel

x = 5

empirische Varianz sx²

= 32

zweite Person mit

n = 5,

arithmetisches Mittel

y = 12,5

empirische Varianz sy²

= 8

Die Frage lautet, das arithmetische Mittel für die Gesamt-Stichprobe zu berechnen.

{

x1,…, xn, y1,…, yn }

Die Formel für die Berechnung des arithmetischen Mittels lautet:

x

=1/n*∑

x i

(i = 0

bis

n)

Problem ich habe leider nicht die Werte von

x 1 . .

x n

y 1

und

y n

wie löse ich das nun ?

DerDepp aktiv_icon

16:22 Uhr, 07.02.2015

Hossa :-)

Du kennst:

\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{10}}{10} = 5; \frac{y_{1} + y_{2} + \dots + y_{5}}{5} = 12.5

Du suchst:

\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{10} + y_{1} + y_{2} + \dots + y_{5}}{15} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{10}}{15} + \frac{y_{1} + y_{2} + \dots + y_{5}}{15} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{10}}{10} \cdot \frac{10}{15} + \frac{y_{1} + y_{2} + \dots + y_{5}}{5} \cdot \frac{5}{15}

Darin kannst du die bekannten Mittelwerte einsetzen:

= 5 \cdot \frac{10}{15} + 12.5 \cdot \frac{5}{15} = 7.5

Ok?

F1r3Pow3r aktiv_icon

16:39 Uhr, 07.02.2015

Ok danke für die Antwort. Ich würde gerne mit dem Ergebnis des arithmetischen Mittels die Standardabweichung berechnen.

Die Formel für die Standardabweichung

σ

lautet ja ( siehe Bild mit Formel weiter unten)

Wie kann ich nun die Standardabweichung berechnen, wenn ich die Werte für

{x 1, . .

x n, y 1 . .

y n}

überhaupt nicht kenne bzw. diese Angaben nicht angegeben sind (siehe Aufgabenstellung ) ?

DerDepp aktiv_icon

02:50 Uhr, 09.02.2015

Hossa :-)

Damit wir die Wurzel loswerden, betrachten wir das Quadrat der Standardabweichung:

σ^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}

Die Klammer kann man mit der Binomischen Formel ausrechnen und die Summe in Teilsummen zerlegen:

σ^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} - 2 x_{i} \cdot \bar{x} + {\bar{x}}^{2}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 2 x_{i} \cdot \bar{x} + \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {\bar{x}}^{2}

Bei der ersten Summe können wir nichts vereinfachen.

Bei der zweiten Summe kannst du die konstanten Anteile vorziehen und erkennst im Rest den Mittelwert

\bar{x}

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 2 x_{i} \cdot \bar{x} = 2 \bar{x} \cdot \underset{= \bar{x}}{\underset{⎵}{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}}} = 2 {\bar{x}}^{2}

Bei der ditten Summe wird

n

-mal der konstante Wert

{\bar{x}}^{2}

addiert, also:

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {\bar{x}}^{2} = \frac{1}{n} (\underset{n -mal}{\underset{⎵}{\bar{x} + \bar{x} + \dots \bar{x}}}) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot {\bar{x}}^{2} = {\bar{x}}^{2}

Alles zusammen gebaut ergibt

σ^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - 2 {\bar{x}}^{2} + {\bar{x}}^{2}

eine etwas einfachere und allgemeingültige Formel für die Standardabweichung:

σ^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}

Mit dieser Formel ist der Rest nun einfach. Von den x- bzw. y-Werten wissen wir:

n_{x} = 10; \bar{x} = 5; σ_{x}^{2} = 32; n_{y} = 5; \bar{y} = 12.5; σ_{y}^{2} = 8

Daraus berechnen wir die Summe von den

x_{i}^{2}

bzw.

y_{i}^{2}

σ^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2} \Rightarrow \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = σ^{2} + {\bar{x}}^{2} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = n \cdot (σ^{2} + {\bar{x}}^{2})

Die Werte für

x

und

y

eingesetzt liefert:

\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 10 \cdot (32 + 5^{2}) = 570; \sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 5 \cdot (8 + 12 . 5^{2}) = 821.25

Der gesamte Mittelwert aller x- und y-Werte war 7.5. Damit gilt für die Varianz aller x- und y-Werte zusammen:

σ^{2} = \frac{1}{15} (\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} + \sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2}) - 7 . 5^{2} = \frac{1}{15} (570 + 821.25) - 56.25 = 36.5

Die Standardabweichung ist die Wurzel daraus, also

σ \approx 6.04

Ok?

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