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Arithmetische und Geometrische Folgen

Schüler

Tags: Arithmetische Folge

naeooo aktiv_icon

16:44 Uhr, 18.04.2016

Hi,

komme bei diesen Aufgaben nicht voran:

1.
In einer arithmetischen Folge ist das Produkt aus dem 2. und 7. Glied 6, die Summe
aus dem 2. bis 5. Glied beträgt 176. Berechne den Wert für d.

(Hinweis: zwei mögliche Lösungen, gib die größere Zahl ein.)

Ansatz:

a2*a7=6

a2+a3+a4+a5=176

Weiß ab hier aber nicht mehr weiter...

2.
Von einer arithmetischen Folge sind gegeben: a3=29 und a7=75. Berechne s_{31}.

Ansatz:

a7=a3+4d 75=29+4d d=11,5

a3=a1+2d 29=a1+2*11,5 a1=1,26

s31 = 31/2*(2*1,26+30*11,5) = 5386,56

Richtiges Ergebnis wäre: 5533,50

3.
Gegeben sind die Folgenglieder a_{7}=4,8 und a_{10}=13,4 einer geometrischen Folge. Berechne a_{34} und runde auf 3 Nachkommastellen!

Ansatz:

a10=a7*q^3 a7=a1*q^6
13,4=4,8*q^3 4,8=a1*1,408^6
q=1,408 a1=0,6160

a34=a1*^33 = 49370,590

Richtiges Ergebnis wäre: 49432,581

4.
Berechne die Summe der geraden Zahlen von 100 bis und mit 2^{15} !

Hier versteh ich gar nicht erst, was ich eigentlich machen muss...

Bitte um Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stephan4

19:25 Uhr, 18.04.2016

1.
Dein Ansatz ist richtig.
Nun kann man die einzelnen Elemente durch

a_{1}

und

d

ausdrücken und einsetzen.
(Lösung:

d = 29,3060)

2.
Formel stimmt. Rechenfehler.

3.

a_{34} = a_{1} \cdot q^{33}

4.
Das ist eine arithmetische Reihe:

100, 102, 104, 106,

usw.
Du siehst sofort a und

d

.

Nun die Summe von

a_{1}

bis

a_{n}

n

ist die halbe Differenz der beiden Zahlen PLUS 1.

ZB
Wie viele geraden Zahlen gibt es von

100

bis

106

100, 102, 104, 106

. Das sind 4 Zahlen.
Warum 4?

106 - 100 = 6,

davon jede zweite Zahl, also 3. Und dann noch die

100

als erste Zahl dazu, sind 4 Zahlen.

Hoffe, das hilft. Wenn nicht, wie weit bist Du gekommen?
Das hilft Helfen.
:-)

naeooo aktiv_icon

21:39 Uhr, 18.04.2016

Zur 1.

Könntest du mir da die Schritte genauer erklären?

Weiterer Ansatz:

a2+5d=6

a2+(a2+d)+(a2+2d)+(a2+3d)=176

Bin ich da auf dem richtigen Weg?

Zur 2.

Wie muss ich das den in den TR eingeben, damit ich auf das richtige Ergebnis komme?

Habs jetzt auf 3 verschiedene Arten probiert und bin immer noch nicht auf das richtige Ergebnis gekommen..

Zur 3.

Stimmt da meine Rechnung für das q und das a1?

Den wenn ich a34=a1*q^33 rechne, komme ich nicht auf das richtige Ergebnis

Zur 4.

Also muss ich da die geraden Zahlen von 100 bis 2^15 (32768) zusammenzählen?

Nur wie ich da jetzt die Summe ausrechnen kann, ist mir noch unklar

Stephan4

22:06 Uhr, 18.04.2016

1)

a_{2} \cdot (a_{2} + 5 d) = 6

Zeile 2 gut. Jetzt zusammenfassen.

2)

29 = a_{1} + 2 \cdot 11,5 | - 23

6 = a_{1}

3)

Du musst mit höherer Genauigkeit (mehr Kommastellen) rechnen.

4)

Ja.
Mit der Summenformel.

:-)

naeooo aktiv_icon

22:36 Uhr, 18.04.2016

Gut, danke :-)

Dann versuch ich das morgen umzusetzen und meld mich, falls ich noch Probleme habe, noch einmal

naeooo aktiv_icon

21:59 Uhr, 19.04.2016

Zur 1.

a2+(a2+5d)=6

a2+(a2+d)+(a2+2d)+(a2+3d)=176

Zusammenfassen:

2a2+5d=6

4a2+6d=176

= 2a2+d=170

Stimmt das bis hier?

Falls ja, wie geht es ab da weiter?

Zur 4.

hab da mit dieser Formel gerechnet:

Sn = n/2*(2a1+(n-1)*d)

Bekomme 1.076.985.856 als Lösung heraus, richtige Lösung wäre aber: 268.449.390

Hab in der Zwischenzeit eine neue Aufgabe versucht zu rechnen, bin da aber auch nicht auf das richtige Ergebnis gekommen.

Aufgabe:

Die Summe der ersten 7 Glieder einer arithmetischen Folge beträgt 72, das 3. Glied (also a_3) ist 21.
Berechne s_{12}.

Ansatz:

a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)+(a1+6d) = 97

a1+2d = 21

7a1 + 21d = 97
a1+´+ 2d = 21 |*7

7a1 + 14d = 147

-7d = -50

d = 50/7

21 = a1 + 2*(50/7)

21 = a1 + 14(2/7) wären 14 Ganze und 2/7

6(5/7) = a1

s12 = 6*(2*(6(5/7))+11*50/7)

Bekomme als Ergebnis 552. Lösung wäre aber -198

Was mach ich falsch?

Respon

22:17 Uhr, 19.04.2016

Letzte Aufgabe: Ist nun die Summe der ersten 7 Glieder

72

oder

97

Stephan4

23:09 Uhr, 19.04.2016

1)

Mal, nicht Plus. Vergleiche mit meiner Antwort!

4)

Welches

n

hast Du eingesetzt?

n = \frac{2^{15} - 100}{2} + 1

Erklärung siehe oben.

:-)

naeooo aktiv_icon

17:42 Uhr, 20.04.2016

Die Summe der ersten 7 Glieder ist 72

Respon

17:53 Uhr, 20.04.2016

Dann wäre

a_{1} = \frac{297}{7}

und

d = - \frac{75}{7}

und

s_{12}

wäre

- 198

naeooo aktiv_icon

19:23 Uhr, 20.04.2016

Wie kommst du jetzt auf diese Werte?

naeooo aktiv_icon

18:28 Uhr, 21.04.2016

Ok, hab jetzt die Rechnungen alle gecheckt, danke euch :-)

Hab jetzt aber noch eine, die ich nicht ganz verstehe...:

Gegeben sind:

Geometrische Folge

a2+a7=21

a2+a5=155

Ich muss q und a1 ausrechnen.

Ansatz:

a1*q+a1*q^6=21 (das wäre a2+a7)

a1*9+a1*q^4=155

Bin mir jetzt aber nicht sicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin..?

Falls ja, wie kann ich ab da weiter rechnen?

ledum aktiv_icon

23:08 Uhr, 21.04.2016

Hallo
1. wirklich eine geometrische Folge? 2. wirklich

a 1 + a 5 = 155

und nicht

a 1 \cdot a 5 = 155

?
dann kannst du das praktisch nicht lösen.
dein ansatz ist aber richtig.

naeooo aktiv_icon

18:55 Uhr, 22.04.2016

Geometrische Folge, ja, aber statt a2+a7=21, kommt a2*a7=21

Aber wie könnte ich da rechnen?

Ansatz:

a2*a7= 21 ---> a2*(a2+q^5)

a2+a9=155 ---> a1*q+a1*q^8=155

a2^2+a2q^5 = 21

2a1+q^9 = 155

Bin mir aber ziemlich sicher, dass das nicht stimmt...

ledum aktiv_icon

02:40 Uhr, 23.04.2016

Hallo
woher das +? überleg nicht mal wie man

a_{5}

aus

a_{2}

ausrechnet, wenn man

q

hat. du bist noch bei den arith. Folgeen
vorher hattest du das rchtig
und jetzt hast du ja Produkte keine Summen mehr. also einfach geenau überlegen. Wenn du die 2 richtigen gl hast dividier sie durcheinander.
Gruß ledum

naeooo aktiv_icon

15:01 Uhr, 23.04.2016

Das ist ja eine geometrische Folge, da hat man ja ein q.

a2+a7 = 155 ---> a1*q+a1*q^6 = 155 ---> stimmt oder?

a2*a5 = 21 ---> a2*(a2*q^5) = 21 ---> stimmt es so?

ledum aktiv_icon

19:47 Uhr, 23.04.2016

Hallo
aber die genaue Aufgabe kenne ich noch nicht hast du nun

a_{2} \cdot a 7 = a_{2} \cdot a_{2} \cdot q^{6} = 21

und

a 2 \cdot a_{5} = a^{2} \cdot a_{2} \cdot q^{4} = 155

es ist immer wieder mal

+

mal

\cdot

bei dir. also schreib mal die Aufgabe ganz neu und exakt auf.

wenn

a_{2} + a_{7} = 21

und

a_{2} \cdot a_{5} = 155

richtig ist stimmen deine Gleichungen,
damit in beiden nur

a_{1}

oder nur vorkommt ersetze in der zweiten noch

a_{2} = q \cdot a!

oder in der ersten

a_{1} \cdot q = a_{2}

gruß ledum

naeooo aktiv_icon

22:11 Uhr, 23.04.2016

Meine genaue Aufgabe lautet:

Geometrische Folge

a2*a5 = 21

a2+a7 = 155

Ich benötige a1 und q

Ansatz:

a1*q+a1*q^6 = 155

a2*(a2*q^5) = 21

-----------------------

2a1+q^7 = 155

2a2^2*a2q^5 = 21

Stimmt das bis hier? Weiß ab da nicht mehr weiter..

ledum aktiv_icon

12:10 Uhr, 24.04.2016

Hallo
du machst zu viele Leichtsinnsfehler
schreib einzeln auf

a_{5} = a_{2} \cdot q^{3}

a_{7} = a_{2} \cdot q^{5}

dann

a_{2} \cdot a_{5} = a_{2}^{2} \cdot q^{3} = 21

a_{2} + a_{2} \cdot q^{5} = 155 = a_{2} \cdot (1 + q^{5})

ob du

a_{1}

oder

a_{2}

als Unbekannte nimmst ist egal.
man kann natürlich eine der Gl nach

a_{2}

auflösen und in die andere einsetzen, aber lösen kannst du die entstehende Gleichung nicht direkt

a)

ihr benutzt einen GTR der das kann

b)

ihr sollt das näherungsweise lösen (Newton)

c)

die Aufgabe ist falsch gestellt und es ist beide Male das Produkt nur dann kannst du explizit lösen
Gruß ledum

naeooo aktiv_icon

17:07 Uhr, 24.04.2016

Ok, ich glaube die Aufgabe ist falsch gestellt (hat mir nur ein Kollege gegeben)

Danke trotzdem :-)

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