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Assoziativ- und Distributivgesetze in Körpern

Schüler

Tags: Distributivgesetz, Körper, Lineare Algebra

Sabine2 aktiv_icon

19:05 Uhr, 22.07.2012

Hallo liebe Gemeinde,

ich habe eine (In euren Augen wahrscheinlich dumme) Frage:

Um zu überprüfen, ob eine gegebene Menge zusammen mit zwei inneren Verknüpfungen, einen Körper darstellt, muss man alle Körperaxiome durchgehen. (Jedenfalls kenne ich bisher nur diese Methode)

Unter anderem prüft man auch Assiaziativgesetzt und Distributivgesetzt.

Assiziativgesetz: Bisher habe ich immer stur geprüft ob

(a + b) + c = a + (b + c)

bzw.

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

gilt. Bis sich mir dann irgendwann folgende Frage stellte: Wieso muss ich aber nicht

(a + c) + b = a + (c + b)

bzw. das ganze mit

\cdot

prüfen?

Distributivgesetzt: Im Prinzip die selbe Frage. Ich überprüfe

(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)

. Wieso muss ich nicht auch

(a + c) \cdot b = (a \cdot b) + (c \cdot b)

und

(c + b) \cdot a = (c \cdot a) + (b \cdot a)

überprüfen?

Ich hoffe, meine Frage ist verständlich.

Außerdem noch was anderes. Mir ist nicht klar, was genau das Wort "Strucktur" in der Mathematik bezeichnet bzw. was struckturerhaltende Abbildungen (Homomorphismen, Isomorphismen und Automorphismen) ausmachen.

Vllt. kann ja der ein oder andere ein paar Sätze dazu schreiben. (Mit einem Wiki-Link kann ich leider nichts anfangen.)

Ich bedanke mich und viele Grüße,

Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Rechnen mit Klammern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

Underfaker aktiv_icon

21:03 Uhr, 22.07.2012

Ich denke du stehst auf dem Schlauch.

Ich nehme ein Beispiel heraus:

Z.

z

(a + b) + c = a + (b + c)

Was ist denn aber

(a + c) + b = a + (c + b)

a, b, c

beliebige Elemente der zugrunde liegenden Menge ist kannst du die beliebig verändern. Mit

a, b, c

beliebig zeigst du den allgemeinen Fall.

Wenn du deinen zweiten Versuch hinschreibst:

(a + c) + b = a + (c + b)

Dann ist das genau dasselbe, nur dass du hier den zweiten Summanden und den dritten Summanden anders genannt hast.

Analog alle anderen Fälle

Sabine2 aktiv_icon

21:19 Uhr, 22.07.2012

Und das Distributivgesetz?

Ich meine folgenes gelesen zu haben:

Es gilt die Kommutativität der Multiplikation in dem zu untersuchenden Körper. Dann muss man nur ein Distributivgesetz zeigen.

Gilt die Kommutativität nicht, so muss man mehrere Distributivgesetze zeigen.

Wird mein Problem dadurch verständlicher?

Underfaker aktiv_icon

21:23 Uhr, 22.07.2012

Ja das ist aber etwas anderes als du geschrieben hast.

Nach Kommutativität der Multiplikation gilt:

a \cdot (b + c) = (b + c) \cdot a

Wenn die Kommutativität der Multiplikation nicht gegeben ist musst du prüfen ob sowohl

a \cdot (b + c)

als auch

(b + c) \cdot a

gelten, eventuell gilt ja nur Linksdistributivität oder Rechtsdistributivität

Sabine2 aktiv_icon

21:29 Uhr, 22.07.2012

Okay, dann tut es mir leid, falls ich mich blöd ausgedrückt habe ;-)

Folgendes: In dem Buch, dass ich hier liegen steht das wie folgt.
Wir fordern zunächst das Distributivgesetz

x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z

Gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation nicht, müssen wir auch das zweite Distributivgesetz

(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z

fordern.

Liegt meine Verwirrung also einem Fehler im Buch zugrunde und der Autor meint

(y + z) \cdot x = y \cdot x + z \cdot x

als zweites Distributivgesetz?

Underfaker aktiv_icon

21:39 Uhr, 22.07.2012

Wie oben ist das eine Links- das andere Rechtsdistributivität.

Und dein Vorschlag was der Autor gemeint haben könnte, ist auch wieder genau dasselbe was der Autor geschrieben hat nur mit anderen Benennungen.

Es ist egal wie die Variablen heißen, es könnte auch so aussehen:

links:

a \cdot (b + c) = a b + a c

rechts:

(α + λ) \cdot τ = α \cdot τ + λ \cdot τ

Auch wenn das unüblich wäre. Dann hätte man trotzdem beides gezeigt, die Buchstabenanordnung musst nicht in einem zwingendem Zusammenhang stehen die können beliebig gewählt werden, es kommt auf die Gesetzmäßigkeit an.

Sabine2 aktiv_icon

21:44 Uhr, 22.07.2012

Ah okay, jetzt hab ichs verstanden ;-)

Was wäre denn, wenn die Kommutativität der Addition nicht gilt?

Underfaker aktiv_icon

21:47 Uhr, 22.07.2012

Dann gilt es nicht. (Im Bezug auf was denn?)

Sicher liegt dann kein Körper vor

\to

offensichtlich

Und für das Distributivgesetz solltest du dir das doch überlegen können, in welcher Weise benötigt man die Kommutativität der Addition für das Distributivgesetz?

[

Edit] Fehler behoben

Sabine2 aktiv_icon

21:50 Uhr, 22.07.2012

was gilt dann nicht?

ich muss dann einmal

x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z

und

x \cdot (y + z) = x \cdot z + x \cdot y

prüfen, oder?

Underfaker aktiv_icon

22:03 Uhr, 22.07.2012

Nein.

Das Distributivgesetz sagt:

a \cdot (b + c) = a b + a c

nicht

= a b + a c \land a c + a b

hagman aktiv_icon

22:14 Uhr, 22.07.2012

Nein. Es gibt im Prinzip zwei Distributivgesetze:

x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z

und

(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z

.
Der Unterschied besteht halt darin, welcher der beiden Faktoren aus einer geklammerten Summe besteht.
Wenn wenigstens

+

kommutativ ist, dann folgt das von dir vorgeschlagene

x \cdot (y + z) = x \cdot z + x \cdot y

aus dem ersten Distributivgesetz und der Kommutativität der Addition:

x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z = x \cdot z + x \cdot y

Wenn

\cdot

kommutativ ist, folgt hieraus und aus dem ersten Distributivgesetz das zweite Distributivgesetz (so dass man eben nur eines nachprüfen muss):

(x + y) \cdot z = z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y = x \cdot z + y \cdot z

Andererseits: Wenn der Fall eintritt, dass du beide Distributivgesetzte prüfen musst, weil eben

\cdot

nicht kommutativ ist, dann kannst du ohnehin aufhören: Ohne kommutative Multiplikation handelt es sich nicht um einen Körper. (Es gibt allerdings noch den Begriff des "Schiefkörpers"; wenn man also darauf prüfen möchte, muss man ach das zweite Distributivgesetz prüfen)

Konkretes Beispiel:
Betrachte

M = {ν, ε}

mit der Addition

ν + ν = ε + ε = ν, ν + ε = ε + ν = ε

und der Multiplikation

ν \cdot ν = ε \cdot ν = ν, ν \cdot ε = ε \cdot ε = ε

(M, +)

ist eine abelsche Gruppe, die Multiplikation ist nicht kommutativ. Man erkennt, dass allgemein ein "Produkt" immer einfach der zweite Faktor ist.
Somit gilt das erste Assoziativgesetz, denn sowohl

x \cdot (y \cdot z)

als auch

(x \cdot y) \cdot z

ergeben einfach

z

.
Es gilt auch das erste Distributivgesetz, denn

x \cdot (y + z) = y + z

und wegen

x \cdot y = y

und

x \cdot z = z

ist auch

x \cdot y + x \cdot z = y + z

.
Dagegegen ist

(x + y) \cdot z = z

und

x \cdot z + y \cdot z = z + z

. Im Fall

z = ε

ist ersters

= ε

und letzeres

= ν

. Demnach gilt das zweite Distributivgesetz *nicht*. Mithin ist

(M, +, \cdot)

kein Schiefkörper. Dass es kein Körper ist, hätten wir schon früher am Versagen der Kommutativität sehen können:

ε = ν = ν \neq ε = ν \cdot ε

Sabine2 aktiv_icon

22:14 Uhr, 22.07.2012

Dann habe ich auch keine Idee..

Underfaker aktiv_icon

22:21 Uhr, 22.07.2012

"Keine Idee" im Bezug auf was?

Es klingt so als wolltest du jeden erdenklichen fall abdecken der irgendwie möglich ist.

Allerdings mangelt es teilweise an grundlegendem Verständnis.

Für Körper müssen sowieso alle Axiome erfüllt sein (das war ja der Ausgang deiner Frage).

In den von dir geschilderten Fällen entfällt das sofort mit jeder deiner Einschränkungen.

Für Körper muss

\cdot

und

+

kommutativ sein.

Sabine2 aktiv_icon

22:24 Uhr, 22.07.2012

okay, das Beispiel hat mir sehr geholfen! :-)
Wenn es ein erstes Assoziativgesetz gibt, muss es ja auch ein zweites geben. Was hat es mit dem zweiten Assoziativgesetz auf sich?

Sabine2 aktiv_icon

22:31 Uhr, 22.07.2012

Ja, dass es hier alles nichtmehr viel mir Körpern zu tun hat ist mir bewusst. Aber ich brauche das Wissen dann ja um

z . B

. auf Schiefkörper zu untersuchen. (Dazu brauche ich dann das zweite Distributivgesetz).
Gibt es noch andere "Körper" außer den Schiefkörper? Und wozu braucht man dann ein zweites Assoziativgesetz?

Underfaker aktiv_icon

22:36 Uhr, 22.07.2012

"Erstes Assoziativgesetz"

Auszug aus den Körperaxiomen:

. .

.
- Multiplikation muss assoziativ sein
- Addition muss assoziativ sein

. .

.

Es ist also kein zweites Assoziativgesetz sondern dasselbe nur auf zwei Verknüpfungen.

Ich denke auch hier hast du zu kompliziert gedacht. :-)

Sabine2 aktiv_icon

22:41 Uhr, 22.07.2012

Super, dann haben wir das schonmal abgehakt :-)
Ich verdaue das jetzt erstmal bevor wir zum nächsten Thema übergehen, das hat keinen Sinn da jetzt noch drüber zu reden ;-)

Underfaker aktiv_icon

22:42 Uhr, 22.07.2012

Ok dann wünsche ich dir viel Erfolg dabei. :-)

Sabine2 aktiv_icon

22:43 Uhr, 22.07.2012

Danke Danke :-)
Ich wollte dir/euch jetzt nich den Mund verbieten.. Ich wollte damit nur sagen, dass ich jetzt erstmal weg bin und erst morgen wieder reinschaue, falls wer was zum Thema zu sagen hat, kann er dies selbstverständlich tun ;-)

Sabine2 aktiv_icon

10:59 Uhr, 24.07.2012

Mag mir jetzt noch jemand weiterhelfen? :-)

hagman aktiv_icon

08:32 Uhr, 25.07.2012

Wobei denn? Was ist denn jetzt noch offen?

Sabine2 aktiv_icon

16:59 Uhr, 26.07.2012

"Außerdem noch was anderes. Mir ist nicht klar, was genau das Wort "Strucktur" in der Mathematik bezeichnet bzw. was struckturerhaltende Abbildungen (Homomorphismen, Isomorphismen und Automorphismen) ausmachen.

Vllt. kann ja der ein oder andere ein paar Sätze dazu schreiben. (Mit einem Wiki-Link kann ich leider nichts anfangen.)"

Das hier ist noch offen ;-)

Mathematica aktiv_icon

19:59 Uhr, 26.07.2012

Hallo,
Unter einer mathematischen Struktur versteht man eine Menge die mit mit bestimmten Eigenschaftenausgestattet ist.

Algebraische Strukturen

z . b

. sin mit mehreren Verknüpfungen ausgestattet. ( Aus wikipedia entnommen ).

;-)

Mathematica aktiv_icon

19:59 Uhr, 26.07.2012

Hallo,
Unter einer mathematischen Struktur versteht man eine Menge die mit mit bestimmten Eigenschaftenausgestattet ist.

Algebraische Strukturen

z . b

. sin mit mehreren Verknüpfungen ausgestattet. ( Aus wikipedia entnommen ).

;-)

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