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Astroide

Schüler

Tags: Flächenberechnung

stinlein aktiv_icon

16:54 Uhr, 08.11.2017

Die Aufgabe lautet:
Berechne die Fläche, die von der nachfolgenden Kurve eingeschlossen wird.
Astroide:

f (t) = (2 \cdot {cos}^{3} (\frac{t}{4}); 2 \cdot {sin}^{3} (\frac{t}{4}))

Ich hätte so begonnen:

x = 2 \cdot {cos}^{3} (\frac{t}{4})

y = 2 \cdot {sin}^{3} (\frac{t}{4})

x' = - (\frac{3}{2} \cdot {cos}^{2} (\frac{t}{4}) \cdot sin (\frac{t}{4}))

Bin ich da mit der Formel:

\frac{1}{4} A = - \int_{0}^{\frac{π}{2}} = y (t) \cdot x' (t) d t

richtig?

Komme bis

\frac{1}{4} A = 3 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{4} (\frac{t}{4}) d t - 3 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{6} (\frac{t}{4}) d t =

Komme nicht zum richtigen Ergebnis:

A = \frac{3 \cdot π}{2}

I(0,8pi)

Rechne jetzt schon 2 Tage lang an dieser Aufgabe, komme nicht zum Ziel. Habe es auch mit Jakobideterminante versucht. Wie im Internetvideo aufgezeigt!
Danke im Voraus für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenberechnung und bestimmtes Integral

Atlantik aktiv_icon

19:36 Uhr, 08.11.2017

Mit Parameterrechnung bringe ich es noch nicht hin, drum erstmal so:

x = a \cdot {(cos (\frac{t}{4}))}^{3} \to \sqrt[3]{\frac{x}{a}} = cos (\frac{t}{4}) \to {cos}^{2} (\frac{t}{4}) = {(\sqrt[3]{\frac{x}{a}})}^{2}

y = a \cdot {(sin (\frac{t}{4}))}^{3} \to \sqrt[3]{\frac{y}{a}} = sin (\frac{t}{4}) \to \sqrt[3]{\frac{y}{a}} = \pm \sqrt{1 - {cos}^{2} (\frac{t}{4})} \to \sqrt[3]{\frac{y}{a}} = \pm \sqrt{1 - {(\sqrt[3]{\frac{x}{a}})}^{2}}

{(\frac{y}{a})}^{\frac{1}{3}} = \pm ({(1 - {(\frac{x}{a})}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} |^{3}

(\frac{y}{a}) = \pm ({(1 - {(\frac{x}{a})}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}

y = \pm a \cdot [{(1 - {(\frac{x}{a})}^{\frac{2}{3}}]}^{\frac{3}{2}}

a = 1

y = [{(1 - {(x)}^{\frac{2}{3}}]}^{\frac{3}{2}}

mfG

Atlantik

G r a p h :

stinlein aktiv_icon

20:04 Uhr, 08.11.2017

Ich bedanke mich ganz herzlich für die angebotene Hilfe. Ich sollte bzw. ich muss die eingeschlossene Fläche berechnen. Ergebnis sollte sein:

A = \frac{3 \cdot (π)}{2}

In der angegebenen Lösung ist auch angegeben - die Grenze! Weiß auch nicht, wie man die eruiert. Ich konnte die im Internet auch nicht ausfindig machen. Leider! I

[

0,8

π]

Das dürfte das Intervall sein.
Sehr lieb von dir, dass du dich mit dieser Aufgabe näher befasst. Ich danke dir ganz herzlich dafür. Im Internet ist ein Video (Uniprofessordarbietung - Vorlesung) in Polarkoordinatendarstellung drinnen uzw. unter "mehrdimensionale Integration (Aufgabe

9 -

Flächeninhalt der Astroide berechnen, Sternkurve"). Ich habe es auch auf diese Art versucht - kam aber leider nicht zum Ziel.
Bitte, du sollst dich meinetwegen mit dieser Aufgabe nicht belasten. Ich habe mich wirklich stundenlang damit befasst, kam aber einfach nicht ans Ziel. Vielleicht schaut auch einmal jemand, der an der UNI studiert, sich diese Aufgabe an. Weiß nicht, warum wir am Anfang der 4.Klasse HTL damit belastet werden. Wird wohl im Lehrplan vorgesehen sein.
Danke dir nochmals ganz lieb für dein Bemühen!

lg
stinlein

Roman-22

20:22 Uhr, 08.11.2017

> Bin ich da mit der Formel:
> 14A=−∫0π2=y(t)⋅x′(t)dt richtig?
Nicht ganz!
Richtig wäre

\frac{1}{4} \cdot A = - \int_{0}^{2 π} y (t) * \dot{x} (t) d t = . . . = \frac{3 π}{8}

und somit wie in der Lösung auch angegeben

A = \frac{3 π}{2}

Wichtig ist dabei, zu erkennen, dass man erst, wenn

t

von

0

bis

8 π

gelaufen ist, einmal "rundherum" ist. Daher bekommst du ein Viertel der Astroide für t von

0

bis

2 p i

. Du hattest also die obere Integralgrenze falsch gewählt.

Wann haben wir denn bei der Astroide einen kompletten Rundkurs absolviert? Offenbar dann, wenn sich die x,y-Paare wiederholen. Also dann, wenn sich

s i n (\frac{t}{4})

und

c o s (\frac{t}{4})

wiederholen. Das sind aber beides Schwingungen mit der Kreisfrequenz

\frac{1}{4}

und somit der Periode

\frac{2 π}{\frac{1}{4}} = 8 π

. Daher das in der Lösung angegebene Intervall

I = [0; 8 π]

stinlein aktiv_icon

20:27 Uhr, 08.11.2017

Bedanke mich ganz herzlich bei dir für diese Erklärung. STell dir vor, jetz bin ich endlich beim richtigen Ergebnis.
Vielen, vielen Dank für die lehrreiche Erläuterungen. DANKE!

stinlein aktiv_icon

21:56 Uhr, 08.11.2017

Super! Heute werde ich besser schlafen. Ich bin zum Ergebnis gelangt.
Nochmals allen ein herzliches Dankeschön!
lg
stinlein

Atlantik aktiv_icon

09:39 Uhr, 09.11.2017

Mit

a = 2 :

y = 2 \cdot {[1 - {(\frac{x}{2})}^{\frac{2}{3}}]}^{\frac{3}{2}}

Mit

http://de.numberempire.com/definiteintegralcalculator.php

berechnet:

A = 2 \cdot \int_{- 2}^{2} (2 \cdot {[1 - {(\frac{x}{2})}^{\frac{2}{3}}]}^{\frac{3}{2}}) \cdot d x \approx 4,7

\frac{3}{2} Π \approx 4,7

Somit stimmen die Ergebnisse überein.

mfG

Atlantik

stinlein aktiv_icon

13:24 Uhr, 09.11.2017

Vielen, vielen Dank für die Mühe. Muss Roman-22 nochmals kontaktieren. Verstehe noch nicht ganz die obere Grenze

2 \cdot π

. Auch die 8pi - da tue ich mich noch schwer, das zu verstehen. Die Rechnung an und für sich ist erledigt.
Oder kannst du mir das kurz auf eine etwas andere Art erklären, wie ich zu der oberen Grenze

2 \cdot π

komme?
DANKE! DANKE!

ledum aktiv_icon

16:09 Uhr, 09.11.2017

Hallo
die Kurven sind doch geschlossen, ohne das

\frac{t}{4}

also für

t

nach

2 π,

weil sich danach alles wiederholt. die Periode von sin und

cos

kennst du doch?
Gruß ledum

Atlantik aktiv_icon

16:13 Uhr, 09.11.2017

Das liegt an

sin (x)

und

sin (\frac{x}{4})

.

Du musst die Sinuskurve

sin (x)

nun 4 mal durch laufen, um

e i n e n

Durchgang für

sin (\frac{x}{4})

zu haben.Darum auch das Intervall

4 \cdot 2 Π = 8 Π

für die vollständige Astroide.

Ich habe noch einen Astroidenrechner im Netz gefunden:

rechneronline.de/pi/astroide.php

Hier findest du auch eine Animation zur Entstehung einer Astroide:

de.wikipedia.org/wiki/Astroide

Für mich ist dieses alles auch noch Neuland. Bis zu meinem Abi vor

50

Jahren gab es im Unterricht weder Parameterdarstellung und keine Astroiden.

mfG

Atlantik

G r a p h e n

von beiden Funktionen

stinlein aktiv_icon

17:09 Uhr, 09.11.2017

Danke euch ganz herzliche für die Hilfe. Habe mir alles ausgedruckt und werde es mir nochmals durch den Kopf gehen lassen. Ist für mich ein ziemlich schwieriger Matheteil.
Falls ich es noch nicht ganz verstanden habe, melde ich mich einfach wieder. DANKE!
Allerliebsten Danke allen meinen super Helfern!
lg
stinlein

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