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Auf lineare Unabhängigkeit prüfen

Schüler Realschule,

Tags: Linear, Prüfen, Unabhängigkeit

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22:06 Uhr, 14.03.2013

Hallo Liebe Leute!

Ich hätte eine Frage zur linearen Unabhängigkeit. Ich bereite mich gerade auf eine Algebra I Klausur und bin bei den Übungsaufgaben auf eine Sache gestoßen wo ich einfach nicht weiter komme.

Also die Definition für ein linear unabhängiges System ist mir bekannt und ich weiß auch wie man es beispielsweise für Vektoren und Polynome nachweist. Da kann man ja einfach ganz simpel ein Gleichungssystem aufstellen bzw. eine Matrix basteln und diese auf Zeilenstufenform bringen etc.

Jetzt bin ich aber auf Aufgaben gestoßen, da sind Funktionen mit Sinus und Cosinus gegeben und ich werd einfach nicht schlau draus wie ich da ran gehen soll. ich werd jetzt mal ein paar Aufgaben und meine Gedanken dazu angeben und würde mich über Tipps und Anregungen sehr freuen.

Sei

V = C^{0} (ℝ)

der Vektorraum aller stetigen Funktionen auf

ℝ

.

Sind die Funktionen

f, g, h

linear unabhängig?

Beispiel 1:

f (x) = {cos}^{2} (x)

g (x) = {sin}^{2} (x)

h (x) = 2

Hier hätte ich jetzt einfach die Beziehung

{cos}^{2} (x) + {sin}^{2} (x) = 1

genutzt und gezeigt, dass man jede der Funktionen durch die anderen darstellen kann. Somit wäre das System linear abhängig. Kann man das so machen?

Beispiel 2:

f (x) = cos (π x)

g (x) = sin (π x)

h (x) = x^{2} - 1

Hier weiß ich jetzt gar nicht wie ich das Anstellen soll. Hat jemand einen Hinweis für mich?

Beispiel 3:

f (x) = e^{x}

g (x) = e^{x - 2}

h (x) = x^{2} - 1

Hier bin ich auch ziemlich überfordert...

Ich sollte vielleicht dazu sagen, dass mein einziges Wissen über Trigonometrische Funktionen bzw. e-funktionen noch aus der Schule stammt und das ist schon etwas her. Im Studium haben wir da noch nichts zu gehört.

Liebe Grüße,
Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

08:19 Uhr, 15.03.2013

Im Prinzip hast du die Regeln konsequent angewendet. Bei den e-Funktionen scheint mir, dass lineare Unabhängigkeit nicht vorliegt. Ist denn vorgegeben, dass sie

l . u

. sein sollen ?

Bummerang

09:23 Uhr, 15.03.2013

Hallo,

Funktionen sind linear abhängig, wenn es eine nichttriviale Linearkombination gibt, die die Nullfunktion ist.

a) f (x) = {cos}^{2} (x); g (x) = {sin}^{2} (x); h (x) = 2

λ_{1} \cdot f (x) + λ_{2} \cdot g (x) + λ_{3} \cdot h (x) = 0

λ_{1} \cdot {cos}^{2} (x) + λ_{2} \cdot {sin}^{2} (x) + λ_{3} \cdot 2 = 0

λ_{1} \cdot {cos}^{2} (x) + λ_{2} \cdot {sin}^{2} (x) = - 2 \cdot λ_{3}

Man kann bestimmte notwendige Bedingungen für die Linearkoeffizienten finden. Wenn das für alle

x

gelten soll. dann auch für bestimmte

x_{1}

und

x_{2}

.

Sei

x_{1} = 0

. Setzt man dies ein, ergibt sich:

λ_{1} \cdot 1 + λ_{2} \cdot 0 = - 2 \cdot λ_{3} \Rightarrow λ_{1} = - 2 \cdot λ_{3}

Sei

x_{2} = \frac{π}{2}

. Setzt man dies ein, ergibt sich:

λ_{1} \cdot 0 + λ_{2} \cdot 1 = - 2 \cdot λ_{3} \Rightarrow λ_{2} = - 2 \cdot λ_{3}

Das in die Ausgangsgleichung eingesetzt:

- 2 \cdot λ_{3} \cdot {cos}^{2} (x) - 2 \cdot λ_{3} \cdot {sin}^{2} (x) = - 2 \cdot λ_{3}

- 2 \cdot λ_{3} \cdot ({cos}^{2} (x) + {sin}^{2} (x)) = - 2 \cdot λ_{3}

- 2 \cdot λ_{3} \cdot 1 = - 2 \cdot λ_{3}

Offensichtlich gilt dies für alle

x,

denn hier ist kein

x

mehr zu finden! Damit ist

λ_{1} = - 2, λ_{2} = - 2

und

λ_{3} = 1

eine nichttriviale Lösung. Die gegebenen Funktionen sind linear abhängig.

b) f (x) = cos (π \cdot x); g (x) = sin (π \cdot x); h (x) = x^{2} - 1

λ_{1} \cdot f (x) + λ_{2} \cdot g (x) + λ_{3} \cdot h (x) = 0

λ_{1} \cdot cos (π \cdot x) + λ_{2} \cdot sin (π \cdot x) + λ_{3} \cdot (x^{2} - 1) = 0

Man kann bestimmte notwendige Bedingungen für die Linearkoeffizienten finden. Wenn das für alle

x

gelten soll. dann auch für bestimmte

x_{1}

und

x_{2}

.

Sei

x_{1} = 0

. Setzt man dies ein, ergibt sich:

λ_{1} \cdot 1 + λ_{2} \cdot 0 + λ_{3} \cdot (- 1) = 0 \Rightarrow λ_{1} = λ_{3}

Sei

x_{2} = \frac{1}{2}

. Setzt man dies ein, ergibt sich:

λ_{1} \cdot 0 + λ_{2} \cdot 1 + λ_{3} \cdot (- \frac{1}{2}) = 0 \Rightarrow λ_{2} = \frac{1}{2} \cdot λ_{3}

Das in die Ausgangsgleichung eingesetzt:

λ_{3} \cdot cos (π \cdot x) + \frac{1}{2} \cdot λ_{3} \cdot sin (π \cdot x) + λ_{3} \cdot (x^{2} - 1) = 0

Das ist sicher erfüllt für

λ_{3} = 0,

aber dann sind auch

λ_{1}

und

λ_{2}

Null und das ist die triviale Lösung. In einer nichttrivialen Lösung muss demzufolge

λ_{3} \neq 0

sein (und nur eine nichttriviale Lösung suchen wir) und damit dürfen wir in diesem Fall durch

λ_{3}

dividieren.

cos (π \cdot x) + \frac{1}{2} \cdot sin (π \cdot x) + (x^{2} - 1) = 0

Diese Gleichung ist sicher nicht für alle

x

erfüllt, denn die Teilsumme der ersten beiden Summanden ist größer oder gleich

- \frac{3}{2}

und

x^{2} - 1

ist für

x > \sqrt{\frac{5}{2}}

größer als

\frac{3}{2}

und die Gesamtsumme somit größer als Null. Es existiert also keine nichttriviale Lösung für die Linearkoeffizienten und damit sind diese Funktionen linear unabhängig.

c) f (x) = e^{x}; g (x) = e^{x - 2}; h (x) = x^{2} - 1

λ_{1} \cdot f (x) + λ_{2} \cdot g (x) + λ_{3} \cdot h (x) = 0

λ_{1} \cdot e^{x} + λ_{2} \cdot e^{x - 2} + λ_{3} \cdot (x^{2} - 1) = 0

λ_{1} \cdot e^{x} + λ_{2} \cdot \frac{e^{x}}{e^{2}} + λ_{3} \cdot (x^{2} - 1) = 0

(λ_{1} + \frac{λ_{2}}{e^{2}}) \cdot e^{x} + λ_{3} \cdot (x^{2} - 1) = 0

(λ_{1} + \frac{λ_{2}}{e^{2}}) \cdot e^{x} = - λ_{3} \cdot (x^{2} - 1); e^{x} > 0

für alle

x,

also dürfen wir durch

e^{x}

dividieren

λ_{1} + \frac{λ_{2}}{e^{2}} = - λ_{3} \cdot \frac{x^{2} - 1}{e^{x}}

Links steht eine Konstante, der Term

\frac{x^{2} - 1}{e^{x}}

liefert aber für

x_{1} = 0

und

x_{2} = 1

die Werte

- 1

und 0. Es gibt genau ein

λ_{3},

das es doch noch schafft, aus diesen unterschiedlichen Werten durch Multiplikation den gleichen Wert zu erzeugen:

λ_{3} = 0

Damit bleibt übrig:

λ_{1} + \frac{λ_{2}}{e^{2}} = 0

λ_{1} = - \frac{λ_{2}}{e^{2}}

Zu jedem

λ_{2} \neq 0

gibt es also ein

λ_{1} = - \frac{λ_{2}}{e^{2}} \neq 0,

so dass die Gleichung unabhängig von

x

erfüllt ist. Eine nichttriviale Lösung ist also:

λ_{1} = - 1, λ_{2} = e^{2}

und

λ_{3} = 0

und damit sind diese Funktionen linear abhängig.

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12:29 Uhr, 15.03.2013

Vielen, vielen Dank, dass hilft mir echt weiter!

Noch einmal der Sicherheit halber: Bei Beispiel zwei kommst du zum Schluss, dass es keine nichttriviale Lösung gibt und

f, g, h

deshalb linear abhängig sind. Du meintest linear unabhängig oder?

Nochmal vielen vielen Dank :-)

Bummerang

12:40 Uhr, 15.03.2013

Hallo,

wie man leicht sieht, habe ich bei der zweiten geguttenbergt bei der ersten, aber bei mir selber darf ich das. Die Sätze am Ende hatte ich trotzdem etwas umgebaut, damit das dann doch nicht so offensichtlich ist und dabei übersieht man halt leicht etwas.

Ist korrigiert!

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13:33 Uhr, 18.03.2013

Ich habe da doch noch mal eine Frage zum 2. Beispiel. Da habe ich noch nicht so ganz verstanden was du im letzten Absatz schreibst.

Ich komm bei der letzten Gleichung auf:

cos (π x) - \frac{3}{4} sin (π x) + (x^{2} - 1) = 0

Intuitiv stimme ich ja zu, dass kein

x

existiert, dass die Gleichung erfüllt. Aber wie genau kann ich das deutlich machen?

Du hattest geschrieben die ersten zwei Summanden seien größer oder gleich

- \frac{3}{2}

und

(x^{2} - 1)

ist für

x > \sqrt{\frac{5}{2}}

größer als

\frac{3}{2}

. Wieso genau ist die Summe der ersten zwei Summanden immer mindestens

- \frac{3}{2}

? Welches

x

müsste man dafür einsetzten...

\frac{5}{4}

?
Ich glaub ich steh gerade ziemlich auf dem Schlauch und sehs einfach nicht... Hiiilfe ;-)

ps: Achja und noch eine Frage: hätte man das nicht einfacher lösen können in dem man ein drittes

x

wählt mit

x = 1

? dafür würde dann

λ_{1} = 0

raus kommen:

λ_{1} \cdot 1 + λ_{2} \cdot o + λ_{3} \cdot 0 = 0

Könnte man dann nicht einfach schließen, dass alle

λ_{i}

gleich Null sind? (da man vorher ja gezeigt hat, dass

λ_{1} = λ_{3}

und

- \frac{3}{4} λ_{3} = λ_{2})

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