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Aufgabe arithmetisch- geometrische Mittel

Universität / Fachhochschule

Tags: arithmetisches Mittel, Geometrisches Mittel

hello2y

21:18 Uhr, 02.11.2007

Aufgabe:

Für positive a,b def. man arithmetische, geometrische und harmonische Mittel durch

A(a,b):= (a+b)/2, G(a,b):= $\sqrt{a m a l b}$ , H(a,b):=1/A((1/a),(1/b))= (2*a*b)/(a+b)

(i) Beweise die Ungleichungen

H(a,b) $\leq$ G(a,b) $\leq$ A(a,b)

und zeige, dass eine Gleichheit der Mittel nur für a=b entritt.

(ii) Das arithmetisch-geometrische Mittel.

Es sei $0 < a < b$ . Man def. Intervalle [a{n},b{n}] für alle n Element der natürlichen Zahlen, rekursiv durch a{n+1}:= G(a{n},b{n} und b{n+1}:= A(a{n},b{n}).

Man zeige, dass sie eine Intervallschachtelung bilden.

Man zeige ferner die Abschätzung

b{n+1} - a{n+1} $\leq$ (1/(8*a)) * (b{n}-a{n})^2 .

Die in alllen Intervallen [a{n},b{n}] liegende Zahl heißt arithmetisch- geometrisches Mittel der Zahlen a und b und wird mit M(a,b) bezeichnet.

(i) Glaube ich gelöst zu haben (Gegen einen Vergleich, falls jemand i ebenfalls macht, habe ich aber nichts einzuwenden)

Brauche unbedingt Hilfe bei der (ii).

Wäre sehr dankbar,wenn sich da einer ran wagt.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Streumaß und Lagemaß

Rentnerin

11:21 Uhr, 03.11.2007

Hallo Markus,

für den Nachweis der quadratischen Konvergenz schaffe ich im Augenblick nur 2*a im Nenner statt 8*a. Ich versuche es aber nochmals.

Gruß Rentnerin

Paulus

19:27 Uhr, 03.11.2007

Hallo mgm321

zur Intervallschachtelung.

Zu zeigen ist, dass

a) das geometrische Mittel grösser ist als a, aber

b) kleiner als das arithmetische Mittel, und dass

c) das arithmetische Mittel kleiner ist als b.

Dies alles unter der Voraussetzung, dass gilt: 0<a<b

a) zeigt sich so:

$a < b \Leftrightarrow a^{2} < a b \Leftrightarrow a < \sqrt{a b}$

b) zeigt sich so:

$0 < {(a - b)}^{2} \Leftrightarrow 0 < a^{2} - 2 a b + b^{2} \Leftrightarrow 4 a b < a^{2} + 2 a b + b^{2} \Leftrightarrow a b < \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{4} \Leftrightarrow \sqrt{a b} < \frac{a + b}{2}$

c) zeigt sich so:

$a < b \Leftrightarrow a + b < 2 b \Leftrightarrow \frac{a + b}{2} < b$

Alles klar?

Gruss

Paul

Paulus

20:03 Uhr, 03.11.2007

Hallo mgm321

auf meinem Notizpapier stehen folgende Zeilen:

$\frac{a_{n} + b_{n}}{2} - \sqrt{a_{n} b_{n}} \leq \frac{1}{8 a} {(a_{n} - b_{n})}^{2}$

$b_{n} + a_{n} - 2 \sqrt{a_{n} b_{n}} \leq \frac{1}{4 a} {(a_{n} - b_{n})}^{2}$

${(\sqrt{b_{n}} - \sqrt{a_{n}})}^{2} \leq \frac{1}{4 a} {(a_{n} - b_{n})}^{2}$

${(\sqrt{b_{n}} - \sqrt{a_{n}})}^{2} {(\sqrt{b_{n}} + \sqrt{a_{n}})}^{2} \leq \frac{1}{4 a} {(a_{n} - b_{n})}^{2} {(\sqrt{b_{n}} + \sqrt{a_{n}})}^{2}$

${(a_{n} - b_{n})}^{2} \leq \frac{1}{4 a} {(a_{n} - b_{n})}^{2} {(\sqrt{b_{n}} + \sqrt{a_{n}})}^{2}$

$1 \leq \frac{1}{4 a} {(\sqrt{b_{n}} + \sqrt{a_{n}})}^{2}$

$4 a \leq a_{n} + 2 \sqrt{a_{n} b_{n}} + b_{n}$

Mit der Begründung, dass $a_{n} > a$ (in der anderen Teilaufgabe bewiesen), und dass $b_{n} > a$ (wiel ja $b_{n} > a_{n}$ ist, ebenfalls oben bewiesen) und $\sqrt{a_{n} b_{n}} > a$ (auch das in besagter Teilaufgabe bewiesen), kann man diese Ungleichung als erwiesen betrachten.

Alles klar?

Gruss

Paul

hello2y

21:17 Uhr, 03.11.2007

Vielen, vielen Dank

Fragezeichen8 aktiv_icon

12:51 Uhr, 04.11.2007

Was genau ist denn das einfache "a" ohne Index??

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