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Aufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung/Kombinatorik Überprüfung meiner Rechnungen
Universität / Fachhochschule
Tags: Übriges
 
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anonymous 20:25 Uhr, 22.01.2006  |
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Aufgabe 1 Wie viele dreistellige Zahlen kann man mit den Ziffern 4; 5; 6; 7; 8 schreiben, wenn c) jede Ziffer kleiner oder gleich der nachfolgenden ist? Da weiss ich garnicht wie man das machen soll! Das ist ja eigentlich mit Wiederholung und ohne Reihenfolge Oder??? Aufgabe 2 Bei einem Festakt wurde ein Tisch f¨ur 8 Ehreng¨aste reserviert. Aus Versehen wurden die Tischkarten mit den Namen der G¨aste nicht an die Pl¨atze gelegt, so dass die Ehreng¨aste ihren Platz am Tisch zuf¨allig w¨ahlten (d.h., dass alle Sitzkonstellationen als gleichwahrscheinlich angenommen werden d¨urfen). a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit saßen alle Ehreng¨aste auf den Plätzen, die für sie eigentlich durch die Platzkarten vorgesehen waren? Hier dachte ich man rechnet 8/8! Ist das richtig??? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit saßen 6 (bzw. 5. bzw. 4) der Ehrengäste auf den für Sie vorgesehenen Plätzen? Wie geht das hier?? Kann man rechnen 6/8!??? Aufgabe 5 Schreiben Sie (a + b)8 als Summe mit m¨oglichst wenigen Summanden! Aufgabe 6 Beim Lotto ,,5 aus 42” werden aus einer Lostrommel (Urne) nacheinander f¨unf der von 1 bis 42 numerierten Kugeln als Gewinnzahlen und anschließend eine als Zusatzzahl gezogen. Auf einem Lottozettel m¨ussen 5 Zahlen durch Ankreuzen erraten werden. Die gezogenen Kugeln werden nicht in die Trommel zur¨uckgelegt und die Reihenfolge der gezogenen Zahlen bleibt unber¨ucksichtigt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit a) für den Jackpot (,,5 Richtige mit Zusatzzahl”), b) für die Gewinnklasse II (,, 4 Richtige mit Zusatzzahl”), c) für die Gewinnklasse III (,,4 Richtige”), f) und für gar keinen Gewinn! Meine Lösungsvorschläge: a) 1/(42 über 5) * 42) b) 1/((42 über 4) * 42) c) 1/(42 über 4) f) ???? <i> |
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Servus, >Wie viele dreistellige Zahlen kann man mit den Ziffern 4; 5; 6; 7; 8 Fang doch einfach mal mit abzählen an: {444,445,446,447,448,455,456,457,458,466,467,468,477,478,488} (Das waren alle mit '4' am Anfang.) U {555,556,557,558,566,567,568,577,578,588} U {666,667,668,677,678,688} U {777,778,788} U {888} Ich hoffe, ich habe keine vergessen. Gruß, Marco |
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Hallo, was der Samurai da schreibt, ist richtig - bis in die letzte Zeile, d.h. bei seinem Verfahren steht man (insbesondere in Streßsituationen wie Prüfungen) im Kontrollzwang: "Ich hoffe, ich habe keine vergessen." Besser (insbesondere als Vorbereitung auf Prüfungen) ist es das Problem mehr allgemeiner anzugehen. Zu meiner Studienzeit hatten wir einen Professor, der bei den abgegebenen Übungsaufgaben die heraussuchte, wo der größte Teil der Studenten den einfachen "Aufschreibweg" gegangen sind und dann in der Prüfung die selbe Frage, allerdings leicht abgewandelt gestellt hat. Da waren es auf einmal nicht mehr 5 Ziffern sondern z.B. die 26 Buchstaben des Alphabets. Diese Aufgaben waren einfach und schnell zu lösen, für die, welche sich bei der Lösung der Übungsaufgaben bereits einen Kopf gemacht hatten. Aber nun zu den Lösungen. Der Samurai käme dabei ins schwitzen und würde das Problem in der zur Verfügung stehenden Zeit vielleicht nur durch Harakiri lösen können. Aufgabe 1 c) Das Ganze ist durch die Nebenbedingung an die Nachfogeziffern nur noch schwer in Formeln zu fassen. Am einfachsten (und bei einer Erhöhung der Anzahl immer noch erweiterbar) ist die Fallunterscheidung. Es gibt dreistellige Zahlen, die der Vorgabe genügen, die 3 verschiedene Ziffern haben und welche, die nur zwei verschiedene Ziffern haben, und zu guter letzt welche, die "nur aus einer Ziffer bestehen". Fall a) drei unterschiedliche Ziffern ganz normale Auswahl von 3 Elementen aus einer Grundmenge von 5 Elementen ohne Wiederholung (5 über 3)=(5 über 2)=(5*4)/(1*2)=10 Die Reihenfolge der Ziffern in den 10 Zahlen wird durch die Nebenbedingung vorgegeben. Fall b) zwei unterschiedliche Ziffern ganz normale Auswahl von 2 Elementen aus einer Grundmenge von 5 Elementen ohne Wiederholung (5 über 2)=(5*4)/(1*2)=10 Jetzt hat man aber bei jeder der 10 Möglichkeiten die Wahl, eine der beiden Ziffern zu verdoppeln, aber welche. Man muß also aus den 2 Ziffern eine auswählen (ohne Wiederholung, aber bei der Auswahl von einer Ziffer ist das natürlich klar) (2 über 1)=2/1=2 Also hat man 10*2=20 Möglichkeiten Fall c) nur eine Ziffer ganz normale Auswahl von 1 Element aus einer Grundmenge von 5 Elementen ohne Wiederholung (5 über 1)=5/1=5 Es gibt 10+20+5=35 Möglichkeiten. Der Samurai hat also keine vergessen. Aufgabe 2 Zunächst bestimmt man erst mal alle Möglichkeiten, die es gibt, diese 8 Personen am Tisch unterzubringen. Damit hat man den Divisor für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für alle Teilaufgaben einer solchen Aufgabe. Die Anzahl ist 8!=40320, denn es handelt sich um eine Permutation, die Plätze sind geordnet und die Personen können damit in eine bestimmte Reihenfolge (Anordnung) gebracht werden. a) Wie viele Anordnungen gibt es denn, die einer vorgegebenen Anordnung entsprechen? Natürlich nur eine, also 1/40320 (Taschenrechner nehmen und rechnen!) b) Wenn n Ehrengäste auf den für sie (schreibt man hier klein, denn hier ist der Plural und nicht die Höflichkeitsform für eine Person gemeint!) vorgesehenen Plätzen sitzen, dann sitzen (8-n) Personen nicht auf ihren Plätzen. Ich muß also von den 8 Personen n Auswählen und sie auf ihre Plätze setzen (8 über n)-Möglichkeiten und muß die (8-n) Personen so setzen, daß keiner mehr auf seinem Platz sitzt. Dafür gibt es a_m Möglichkeiten (m=8-n). Wenn man sich die Sitzverteilung der m falsch sitzenden Gäste so anschaut, dann stellt man fest, daß es sich um eine Anordnung der m Gäste handelt, bei der keiner der Gäste auf seinem Platz sitzt, also insbesondere nicht der letzte Gast (letzter in der Anordnung!). Diesen setzt man einfach um, so daß er mit dem Gast wechselt, der auf dem ihm zugedachten Platz sitzt. Damit habe ich eine neue Anordnung der m Personen, bei der es jetzt zwei Fälle gibt. Fall 1: Nur der Gast, der zuvor an letzter Stelle gesessen hat sitzt jetzt richtig, d.h. auf dem ihm zugedachten Platz hat nicht die Person gesessen, die auf den letzten Platz gehört. Da nunmehr (m-1) Personen nicht auf ihren Plätzen sitzen, gibt es dafür a_(m-1) Möglichkeiten. Bei jeder dieser Möglichkeiten konnte jede der (m-1) Personen zuvor auf dem letzten Platz gesessen haben. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also (m-1)*a_(m-1) Fall 2: Jetzt sitzen zwei Gäste auf den ihnen zugedachten Plätzen, der Gast, der auf dem letzten Platz gesessen hat und der "letzte Gast" (gemäß Tischkartenvorgabe). Nunmehr sitzen also (m-2) Personen falsch, es gibt dafür a_(m-2) Möglichkeiten und 2 Personen richtig. Die letzte Person war vorgegeben, auf welchem Platz sie zuvor gesessen hat aber nicht, d.h. es gibt (m-1) Möglichkeiten dafür, wo dieser letzte Gast zuvor gesessen hat. Damit gibt es für diesen Fall (m-1)*a_(m-2) Möglichkeiten. Es gibt also a_m=(m-1)*a_(m-1)+(m-1)*a_(m-2)=(m-1)*(a_(m-1)+a_(m-2)) Möglichkeiten. Man kann also beliebige anzahlen von "Falschsitzern" berechnen, wenn man die ersten zwei (sinnvollen) Möglichkeiten ermittelt hat: a_2=1 (wenn ich zwei Personen auf 2 Stühle verteilen will, so daß keiner auf dem "richtigen" sitzt, dann muß ich die erste Person auf den einzigen falschen Stuhl setzen und für die zweite Person bleibt dann nur noch der andere Stuhl) a_3=2 (wenn ich die erste Person hinsetze, so habe ich die Auswahl zwischen zwei "falschen" Stühlen. Nachdem man sich für einen der beiden Stühle entschieden hat, so platziert man die Person von dem Stuhl, für den man sich nicht entschieden hat. Für diese Peerson bleibt nur der eigene Stuhl und der Stuhl der bereits platzierten Person, also nur eine Möglichkeit um der aufgabe zu genügen. Für die dritte Person, auf deren Stuhl ja die erste platzierte Person einnimmt, bleibt nur der Stuhl der an zweiter Stelle platzierten Person. Damit ergibt sich als Möglichkeitszahl 2*1*1=2. Falls das zu kompliziert war, ausnahmsweise mal die 6 Möglichkeiten (6=3!) aufschreiben und die 4 streichen, die der Vorgabe nicht genügen) a_4=(4-1)*(a_2+a_3)=3*(1+2)=9 a_5=(5-1)*(a_3+a_4)=4*(2+9)=44 ... Wenn ich also (8 über n) Möglichkeiten für die n "Richtigsitzer" habe und a_m (m=8-n) Möglichkeiten für (8-n) "Falschsitzer", so habe ich (8 über n)*a_m Möglichkeiten für alle 8 Personen. 6 "Richtigsitzer": n=6, m=8-n=8-6=2 (8 über n)*a_m=(8 über 2)*1=(8*7)/(1*2)=28 --> 28/40320 5 "Richtigsitzer": n=5, m=8-n=8-5=3 (8 über n)*a_m=(8 über 3)*2=(8*7*6)/(1*2*3)*2=112 --> 56/40320 4 "Richtigsitzer": n=4, m=8-n=8-4=4 (8 über n)*a_m=(8 über 4)*9=(8*7*6*5)/(1*2*3*4)*9=630 --> 630/40320 Aufgabe 5 Was damit gemeint ist, ist mir irgendwie ein Rätsel. Das einzige, das ich mir vorstellen könnte ist, daß man tatsächlich diese (ich nehme an, daß da das Potenzzeichen fehlt) (a+b)^8 ausmultiplizieren und gleiche Summanden zusammenfassen soll. Aber viel sinn macht das beim Studium nicht, da man bereits in der Schule lernt, die binomische Formel für höhere Potenzen anzuwenden. Also: (a+b)^8=(8 über 0)*a^8+(8 über 1)*a^7*b+(8 über 2)*a^6*b^2+(8 über 3)*a^5*b^3 +(8 über 4)*a^4*b^4+(8 über 5)*a^3*b^5+(8 über 6)*a^2*b^6+(8 über 7)*a*b^7 +(8 über 8)*b^8 Aufgabe 6 Auch hier rentiert es sich, zunächst mal alle Möglichkeiten zu ermitteln, die es für eine Ziehung geben kann. Es handelt sich um eine ganz normale Auswahl von 5 Elementen aus einer Grundmenge von 42 Elementen ohne Wiederholung (gezogene Kugeln werden nicht zurückgelegt) und ohne Beachtung der Reihenfolge, also: (42 über 5)=(42*41*40*39*38)/(1*2*3*4*5)=850668 a) Entweder hast Du hier die Aufgabenstellung falsch abgeschrieben oder es handelt sich um einen Intelligenztest. Wenn ich nur 5 Zahlen auf dem Tippschein ankreuzen darf, kann ich keine "5 Richtige mit Zusatzzahl" haben, denn dazu müßte ich 6 Zahlen ankreuzen. Wenn also tatsächlich in der aufgabenstellung "5 Richtige mit Zusatzzahl" steht, so gibt es keine Möglichkeit und die Wahrscheinlichkeit ist 0/850668=0 Wenn allerdings nur "5 Richtige" in der aufgabenstellung steht, dann muß man wie folgt vorgehen: Gezogen wurden 5 Zahlen aus meinen vorausgewählten 5 Zahlen und 0 Zahlen aus den 42-5=37 nichtausgewählten Zahlen. Das sind einfache Kombinationen ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge (5 über 5)*(37 über 0)=1*1=1 --> 1/850668 c) zunächst mal Teilaufgabe c), da dies vom Verständnis her jetzt besser paßt. Gezogen wurden 4 Zahlen aus meinen vorausgewählten 5 Zahlen und 1 Zahl aus den 42-5=37 nichtausgewählten Zahlen. Das sind einfache Kombinationen ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge (5 über 4)*(37 über 1)=5*37=185 --> 185/850668 b) Was macht aus einem "Vierer" einen "Vierer mit Zusatzzahl"? Man hat die Zusatzzahl angezreuzt und von den 5 gezogenen Zahlen hat man sich 4 ausgewählt, also hat man am Ende nur eine Auswahl von 4 Zahlen aus 5 getroffen (5 über 4)*1=5 --> 5/850668 d) Was bedeutet "gar kein Gewinn", ab wann gibt es in dieser Lotterie nichts mehr? Da gibt es mindestens zwei sinnvolle Interpretationen: 1. keine Zahl richtig: Man hat dann 5 Zahlen ausgewählt, die zu den 42-5=37 nicht gezogenen Zahlen gehören, also: (37 über 5)=(37*36*35*34*33)/(1*2*3*4*5)=435897 --> 435897/850668 2. es gibt nur die 3 Gewinnklassen "Jackpot", "II" und "III", d.h. alle Möglichkeiten, die durch a), b) und c) nicht berücksichtigt wurden sind Möglichkeiten unter d) --> (850668-(1+185+5))/850668=(850668-191)/850668=850477/850668 Alle weiteren Möglichkeiten sind deshalb nicht sinnvoll, da man keine Grenze zwischen diesen Möglichkeiten findet, es könnte ja auch noch für einen "Einer mit Zusatzzahl" was geben, sehr wenig, aber vielleicht einen Bruchteil des Einsatzes, wer weiß? PS: Das "Ehrengästeproblem" hatten wir als Übungsaufgabe mit einem Briefeschreiber, der 4 Briefe geschrieben hat und diese in Umschläge gelegt hat, die er dann zuklebte. Anschließend hat er die Adreßaufkleber ohne Wissen, welcher Brief sich in welchem Umschlag befand, aufgeklebt. In der Prüfung waren es dann 10 Briefe! Die 24 Möglichkeiten mit 4 Briefen aufzuschreiben war einfach, für die 3.628.800 Möglichkeiten in der Prüfung hat die Zeit nicht gereicht! |
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